Задание для самостоятельной работы. Решить задачи: [1], гл.18, №№ 556, 557, 559, 561, 562, 563, 565, 566, 567, 569, 570.

Решить задачи: [1], гл.18, №№ 556, 557, 559, 561, 562, 563, 565, 566, 567, 569, 570.

Нормальная асимптотика закона Пуассона.

Теорема 3.3.3. Пусть , - стандартизованная пуассоновская случайная величина. Тогда для характеристической функции справедливо утверждение: . На основании свойства 6) характеристической функции это означает, что предельным законом для при является нормальный .

◄ Доказательство см. [1], задача 18.572►

Из утверждения теоремы следует, что при достаточно больших значениях параметра можно приближенно аппроксимировать пуассоновское распределение нормальным.

Пример 3.3.17. Для некоторого автопарка среднее число автобусов , отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских линиях, равно 4. Считая, что подчиняется закону Пуассона с параметром =4, вычислить вероятности событий для двумя способами: по точной формуле для пуассоновского распределения и в приближении нормальности.

◄ Обозначим - точное значение искомой вероятности (находим по таблице П4 задачника []);

- в приближении нормальности. Результаты вычислений представлены в таблице 3.3.3, где указаны относительные погрешности вычислений по приближенной формуле.

Таблица 3.3.3.

m
	0,98168	0,9332	4,94
	0,7619	0,8413	10,42
	0,56653	0,5	11,7
	0,21487	0,1587

Снова наблюдается картина, аналогичная той, которая получается при аппроксимации биномиального распределения нормальным (см.табл.3.3.2): точность приближения резко падает при удалении левой границы промежутка от среднего значения . Заметим однако, что значение =4 не является достаточно большим, чтобы гарантировать хорошую точность нормального приближения ►

Пример 3.3.18. Обследуются две группы деловых людей. В первой группе (экологи) имеется в среднем 1% курящих. Во второй (политики) – число курящих составляет в среднем 10%. Обозначим - число курящих для каждой группы. Вычислить .

◄ Очевидно можно считать, что , где =0,01; =0,1. Таким образом, для первой группы выполняются условия: , 1 и =2= , то есть выполнены условия применимости теоремы Пуассона (закон редких явлений). Используя пуассоновскую аппроксимацию биномиального распределения, получаем:

=0,00003.

Для второй группы выполняются условия: =20, = =4,24>1 и промежуток содержит среднее значение. Следовательно можно ожидать, что применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа даст приемлемую точность. Имеем: =0,9909.

Заметим, что если для второй группы принять за основу не биномиальное, а пуассоновское распределение с =20 1, то применяя нормальную аппроксимацию непосредственно к пуассоновскому распределению (теорема 3.3.3), получим: =0,9873. Заметим, что относительная погрешность данного результата по сравнению с предыдущим составляет 0,34%.►

Дата добавления: 2015-08-10