Уравнения касательной и нормали к кривой

Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку M (x ₀, y ₀), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке M, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Oy.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kx + b. Поскольку для касательной k = f '(x) ₀, то получаем уравнение y = f '(x ₀)· x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку M(x ₀, y ₀). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: y ₀ = f ' (x ₀) · x ₀ + b. Отсюда b = y ₀ – f '(x ₀)· x ₀.

Таким образом, получаем уравнение касательной y = f '(x ₀)· x + y ₀ – f '(x ₀)· x ₀ или

y = f '(x₀)·(x – x₀) + f(x₀)

Если касательная, проходящая через точку М (x ₀, y ₀) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение x= x ₀.

Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль.

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке.

Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент k _n связан с угловым коэффициентом касательной k равенством:

Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку M (x ₀, y ₀ ), то уравнение нормали к кривой y= f(x) в данной точке M имеет вид:

Ясно, что если касательная параллельна оси Ox, т.е. f '(x ₀) = 0 и ее уравнение имеет вид y= y ₀, то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ox. Значит, ее уравнение имеет вид x= x ₀.

Дата добавления: 2015-08-09