Плоскость и прямая в пространстве

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка, задаваемая в декартовой системе координат уравнением первой степени. Уравнение плоскости, записанное в виде:Ax+By+Cz+D=0, где A, B и C – постоянные, причем A, B и C одновременно не равны нулю, называется общим уравнением плоскости.

Теорема.

Всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными есть уравнение плоскости.

Частные случаи:

1. D = 0. Уравнение Ax + By + Cz = 0 определяет плоскость, проходящую через начала координат.

2. А = 0. Уравнение By + Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Ох.

3. А = D = 0. Уравнение By + Cz = 0 определяет плоскость, проходящую через ось Ох.

4. А = В = 0. Уравнение Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную плоскости Оху.

5. А = В = D = 0. Уравнение Cz = 0 определяет координатную плоскость Оху.

Расстояние d от точки M(х0, у0, z0) до плоскости Ах + By + Cz + D = 0 находится по формуле:

Уравнение плоскости, записанное в виде

называется уравнением плоскости, перпендикулярной данному вектору n = (А, В, С) и проходящей через данную точку M(х0, у0, z0).

Уравнение плоскости в отрезках:

(а, b, с – отрезки, отсекаемые соответственно на осях Ох, Оу и Oz).

Определение.

Даны две плоскости A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и

А2х + В2у + C2z + D2 = 0.

Угол φ, образованный двумя плоскостями, находится из соотoношения:

Следствие.

Условие параллельности двух плоскостей: (коллинеарность векторов n1 и n2)

Условие перпендикулярности двух плоскостей: (перпендикулярность векторов n1 и n2)

Определение.

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т.е. множество точек, удовлетворяющих системе

Определение.

Уравнения прямой в пространстве, проходящей через данную точку M(х1, у1, z1) с направляющим вектором s = (m, n, р):

канонические

и параметрические

Определение.

Уравнения прямой в пространстве, проходящей через точки M1(х1, у1, z1) и M2(х2, у2, z2):

Определение.

Даны две прямые с направляющими векторами s1 = (m1, n1, р1) и s2 = (m2, n2, р2).

Угол φ, образованный двумя прямыми, находится из соотношения:

Следствие.

Условие параллельности двух прямых: (коллинеарность векторов s1 и s2)

Условие перпендикулярности двух прямых: (перпендикулярность векторов s1 и s2)

Определение.

Заданы плоскость A x + B y + C z + D = 0 и

прямая

Угол φ между прямой и плоскостью, находится из соотношения:

Следствие.

Условие параллельности прямой и плоскости: (перпендикулярность векторов n и s)

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: (коллинеарность векторов n и s)

Дата добавления: 2015-08-09