Середня арифметична.

Вона є найбільш поширеною. Застосовується, коли обсяг варіюючої ознаки для всієї сукупності являє собою суму індивідуальних значень її окремих елементів.

За своєю формою вона буває простою та зваженою.

Проста середня арифметична застосовується тоді, коли розрахунок здійснюють на основі первинних, незгрупованих даних, зібраних під час статистичного спостереження. Форма її запису:

.

Це сума індивідуальних значень варіюючої ознаки X, поділеної на число цих значень.

Зважена середня арфметична застосовується тоді, коли розрахунок здійснюють на основі згрупованих даних (даних первинних, що пройшли процес розроділу на групи за групувальними ознаками), передусім даних варіаційного ряду розподілу (дискретного, у якого варіанти виражені дискретними числами, або інтервального, у якого варіанти представлені у вигляді інтервалу значень варіюючої ознаки). Форма її запису:

,

де - загальний обсяг варіюючої ознаки;

- обсяг сукупності.

Приклад.Є три ділянки, на яких вирощували зернові. Площа першої – 5 га; другої – 25 га, третьої – 20 га. Кожен з гектарів цих трьох площ дав відповідно по 22, 26 та 30 центнерів зерна. Логічна формула для визначення середньої урожайності на цих площах виглядає так:

Середня урожайність на тьорх ділянках= = =

= = =27,2 ц/га

У прикладі варіанти, тобто урожайності, кожна мають свою частоту, тобто площу ділянки. Перемноживши варіанти на відповідні частоти одержимо збіл зерна на кожній ділянці. Сума цих добутків – це загальний обсяг ознаки, тобто валовий збір зерна на 50 га площі. Середня урожайність склала 27,2 ц/га.

Дещо умовного характеру набуває розрахунок середньої для інтервального ряду розподіл у. В цьому випадку для кожної групи визначають середнє значення інтервалу як півсуми двох його меж. Потім ці середні значення використовуються як варіанти. Якщо інтервал відкритий, його ширину умовно приймають такою, як у сусідньому закритому інтервалі. Використання середини інтервалу як варіанти грунтується на припущенні, що в межах інтервалу індивідуальні значенняознаки розподіляються рівномірно. У разі відхилення від рівномірного розподілу середня інтервалу ряду буде менш точною, ніж середня, обчислена на основі первинних даних.

Середня арифметична має певні математичні властивості:

- алгебраїчна сума відхилень усіх варіант від середньої дорівнює нулю: ;

- якщо кожну варіанту збільшити або зменшити на будь яку постійну величину А, то середня зміниться відповідно на ту саму величину;

- якщо кожну варіанту розділити або помножити на будь яке довільне число А, то середня зменшиться або збільшиться в стільки ж разів;

- якщо частоту f кожної з груп зменшити або збільшити в одне й те ж саме число разів, то середня не зміниться;

- сума квадратів відхилень варіант від середньої арифметичної менша, ніж від будь якої іншої величини, тобто .

Третю та четверту властивості використовують для спрощення обчислення середньої у варіаційному ряді, який у своїй основі має рівні інтервали.

8. Середня гармонійна

Інколи через характер пкрвинних даних застосовуввати середню арифметичну не можна.

Якщо підсумовуванню підлягають не самі варіанти, а обернені їм числа, тобто , то середнє значення варіюючої ознаки обчислюють за допомогою середньої гармонійної.

Приклад. Витрати робочого часу на виготовлення однієї деталі робітниками (год.) складає . Це означає, що кожен з них виготовив за годину 2, 3, 4 деталі. У середньому за годину виготовлено (деталі). Це прямий показник продуктивності праці. Очевидно, що на виготовлення однієї деталі в середньому витрачалось години. Це обернений показник продуктивності праці. Саме такий результат ми можемо отримати без проміжних обчислень. (год.).

Це проста середня гармонійна.

Більш широко застосовується середня гармонійна зважена.

.

По суті це перетворена середня арифметична. Її застосовують тоді, коли відсутній показник ваги f і його необхідно додоатково визначити на основі відомих варіант і добутку .

Приклад. Розрахуємо середню урожайність пшениці (табл.8.1).

Таблиця 8.1

Вихідні дані про роботу бригад по збору зерна

Бригада	Середня урожайність,ц/га	Валовий збір зерна, ц
І	40,0
ІІ	45,5
Разом	х

Середня урожайність= .

Площа тут виступає як вага , а вона відсутня. Її легко визначити, розділивши валовий збір зерна бригадами на середню урожайність по бригаді. Отже, звідси слідує, що

(ц/га).

9. Деякі особливості обчислення середніх величин

Досить часто у плануванні та економічному аналізі осереднюваний показник – не абсолютна, а відносна величина. Наприклад, обчислення середнього процента виконання дерзамовлення за відомими процентами виконання дерзамовлення двома міністерствами.

Вибір форми середньої залежить від наявної інформації.

Слід пам”ятати, що у середньої, яка визначається з відносних величин, вагами не є частоти, а знаменники тих співвідношень, що обчислюють індивідуальні відносні величини.

Якщо в розпорядженні є безпосередні дані, що характеризують знаменник, то форма середньої – середня арифметична зважена.

Якщо такі дані відсутні, то знаменник потребує додаткових обчислень, а форма середньої, яку необхідно буде застосувати – середня гармонійна.

Приклад. Визначити середню частку тканин з індексом “Н” по двох видах тканин у цілому (табл.9.1).

Таблиця 9.1

Вихідні дані для обчислення середньої частки

Тканини	Загальний обсяг виробництва, млн. п.м	Частка тканин з індексом “Н”,%
Бавовняні	591,6	25,0
Шовкові	221,4	19,3
Разом	813,0	х

Тут варіантами є частки цих тканин по окремих їх видах. Із них неможливо знайти середню арифметичну просту тому, що обсяг їх виробництва різний.

Частка “Н”,%= .

Чисельник відсутній. Необхідно визначити обсяги бавоввняних і шовкових тканин з індексом “Н”.

Тоді у формалізованому вигляді середня частка тканин з індексом “Н” буде дорівнювати

або 23,4%.

Приклад. Визначити середню частку забракованої продукції за всіма видами харчів у цілому (табл.9.2).

Таблиця 9.2

Вихідні дані для визначення середньої частки забраковоної продукції

Види харчів	Забраковано, т	Частка забракованої продукції у загальному обсязі перевіреної,%
М”ясо	473,1	6,1
Ковбасні вироби	107,3	11,1
Копченості	153,4	13,5
Разом	733,8	х

Частка забракованої продуцікї = .

Знаменник цієї логічної формули відсутній. Його необхідно визначити додатково. Якщо знаменник невідомий, значить частка буде розраховуватися за середньою гармонійною.

або 7,4%.

Свої особливості мають розрахунки середніх для ознак порядкової та номінальної шкал, тобто ознак, які не можуть бути виміряні. Якщо ранги порядкової шкали відображають приблизно однакові відстані між окремими якостями явищ, середній ранг обчислюють як і для ознак метричної шкали.

В окремих випадках може бути, що ранги – числа додатні і від”ємні (наприклад, оцінка ступеня задоволеності професією), то середні ранги по кожній групі будуть обчислені за середньою арифметичною зваженою та можуть бути як додатніми, так і від”ємними.

Приклад. Якщо ранги мають і додатні, і від”ємні значення (табл.9.3).

Таблиця 9.3

Дані для розрахунку ступеня задоволеності професією

Ступінь задоволе-ності	Бал,	Чисельність робітників	Розрахунок величини
оператори,	налагоджу-вальники,
Задоволені
Байдужі
Незадоволені	-1			-30	-34
Разом	х			-12

Середній ранг по кожній професії:

;

.

Нормований середній бал (змінюється від –1 до +1) задоволеності буде від”ємним у опереторів і додатнім у налагоджувальників.

Приклад. Якщо ранги мають тильки додатні значення, то визначається нормований середній бал за формулою

,

де - середньозважений ранг (),

- ранг ознаки;

R – розмах шкали рангів; ;

- середня шкала рангів; .

Для альтернативної ознаки (приймає значення взаємовиключні 1 або 0) середня – це частка елементів сукупності з ознакою, що цікавитьдослідника.

.

Приклад. Із 230 робітників 46 мають намір змінити професію. Визначити середній рівень професійної мобільності робітників.

Він буде дорівнювати

тобто 20%.

Інколи виникає потреба у визначенні багатомірної середньої – узагальнюючого показника міри двох і більше ознак, які мають різні одиниці виміру. Її розрахунок базується не на індивідуальних значеннях ознак , а на їх відношеннях до середньої по сукупності в цілому, тобто

; .

Формула багатомірної середньої має такий вигляд:

,

де m – число ознак.

Ця середня характеризує місце j-елемента в багатомірному просторіє

Приклад. Визначити багатомірну середню для характеристики розвитку охорони здоров”я (табл. 9.4).

Таблиця 9.4

Вихідні дані по областях України, де необхідно виявити рівень охорони здоров”я.

Область	У розрахунку на 10000 тис. осіб населення	Співвідношення
Лікарів	сер. мед.перс.	лікарн. ліжка
Дніпропетровська	44,3	115,0	139,5	1,009	0,993	1,036	1,013
Донецька	43,9	125,1	139,0	1,000	1,080	1,032	1,037
Запорізька	43,5	109,1	138,8	0,991	0,942	1,030	0,988
Харківська	48,8	109,3	131,9	1,112	0,944	0,979	1,012
Україна	43,9	115,8	134,7	1,000	1,000	1,000	1,000

; ; .

Базою зіставлення є останній рядок (середній рівень країни). Середня із відносних величин для Дніпропетровської області

.

10. Порядкові середні

До порядкових середніх належать мода та медіана. Це, так як і середня арифметична, - характеристики центру розподілу. Їх розглядають разом із такими характеристиками розподілу як квантилі та децилі.

Мода () – це та варіанта, що найчастіше повторюється в ряді розподілу.

Для дискретного ряду – це варіанта, якій відповідає найбільша частота (легко шукати візуально).

Для інтервального ряду – візуально легко шукати модальний інтервал (інтервал, що має найбільшу частоту), а сама мода визначається за формулою

,

де - нижня межа модального інтервалу;

- ширина модального інтервалу;

- частоти перед-, модального та післямодального інтервалів.

Медіана () – це варіанта, що ділить ранжирований ряд на дві рівні за чисельністю частини.

Якщо в ряді непарне число варіант, записаних у порядку зростання чи зменшення, то медіаною буде центральна варіанта.

Якщо в ряді парне число варіант, то медіаною буде середня арифметична двох центральних варіант.

При визначенні медіани в рядах розподілу використовують кумулятивні частоти (накопичені частоти), які полегшують пошук центральної варіанти.

Для дискретного ряду – встановлюють номер центральної варіанти, ділячи загальну кількість елементів на два. Медіана – це варіанта, номер якої знаходиться в групі, що містить номер центральної ознаки в рядку кумулятивних (накопичених) частот.

Для інтервальних рядів спочатку визначається медіанний інтервал, для якого кумулятивна (накопичена) сума частот рівна або перевищує половину загального обсягу елементів сукупності. Сама медіана визначається за формулою

,

де - нижня межа медіанного інтервалу;

- ширина медіанного інтервалу;

-кумулятивна (накопичена) частота передмедіанного інтервалу;

- частота медіанного інтервалу.

Якщо медіана ділить варіаційний ряд на дві однакові за обсягом частини, то в кожній частині, в свою чергу, можна знайти варіанту, яка поділить її на підгрупи. Таки варіанти називають квартилями Q. - перший квартиль – відсікає четверть сукупності знизу; - третій квартиль – відсікає четверть сукупності зверху; - другий квартиль – це медіана.

На відміну від середньої арифметичної, яка є абстрактною величиною, мода та медіана завжди збігаються з конкретними варіантами, на них не впливають значення нехарактерних для сукупності варіант, при їх обчисленні до уваги не потрібно брати всі без виключення варіанти (як при визначенні середньої арифметичної).

Суть і організаційні форми статистичного спостереження

Статистичне спостереження – це систематизований, спланований та науково організований збір статистичної інформації (сукупності статистичних даних, що відображують соціально-економічні процеси та використовуються в управлінні економікою та суспільним життям) про різноманітни суспільно-економічні явища та процеси.

Статистичне спостереження є початковою стадією статистичного дослідження, від якої значною мірою залежать його (дослідження) наслідки. Помилки статистичного спостереження впливають на правильність і вірогідність (адекватність, точність) теоретичних і практичних висновків. Тому статистичне спостереження повинне бути:

- всебічно продумане;

- добре підготовлене;

- чітко організоване.

Основне завдання СС – отримання вірогідних статистичних даних, які об”єктивно характеризують явища і процеси суспільного життя. Вирішальна роль у виконанні цього завдання належить створеній у 1988 р. Єдиній статистичній інформаційній системі (ЄСІС).

- ЄСІС грунтується на:

- широкому використанні ЕММ методів;

-сучасних засобах зв”язку;

- обчислювальній та організаційній техніці.

Для успішного функціонування ЄСІС розроблено систему статистичних показників соціаль-еконосмічного розвитку країни та окремих її регіонів.

У статистичній практиці застосовують дві організвційні форми СС:

1) звітність (загальнодержавна та внутрішньовідомча);

2) спеціально організовані СС.

Звітність підприємств, установ, організацій поки що – основне джерело статистичної інформації.

Загальнодержавною звітністю передбачється (встановлюється вищим статистичним органом):

- система твердо регламентованих показників, що характеризують діяльність підприємств, установ, організацій;

- зміст звіту;

- форма звіту;

- термін подання.

Внутрішньовідомча звітність, яка розробляється міністерствами чи відомствами для своїх оперативних цілей. Зараз кількість форм такої звітності значно скорочена.

Статистичну звітність за різними ознаками поділяють на окремі види:

1) за масштабністю

- типова – має єдину форму і зміст для всіх підприємств окремої галузі або всього народного господарства;

- спеціалізована – для підприємств чи окремих виробництв зі специфічними особливостями;

2) за періодичністю подання

- тижнева;

- двотижнева;

- місячна;

- квартальна;

- річна;

3) за способом подання

- термінова (телеграфна);

- поштова;

(Удосконалення: скасування термінової звітності; скорочення кількості поштовіх звітів);

4) за порядком проходження

- централізована – через систему державної статистики передається відповідним органам управління;

- децентралізована – через відповідні міністерства чи відомства передається статистичним органам.

(Удосконалення: централізація статистичної звітності: значне скорочення адрес подання звітності (поштова – не більше двох адрес,термінова та поштова міжгалузева – лише в органи дерстатистики).

Спеціально організовані статистичні спостереження охоплююить ті сторони суспільного життя, які не відобразились у звітності.

Сюди включають:

- переписи;

- одноразові обліки;

- опитування;

- вибіркові, монографічні та інші обстеження.

Переписи проводять періодично або одноразово і даютьб повну характеристику явища на дату чи момент часу. Приклад. Перепис населення з інтервалом у 10 років, інформацію про віковий, національний, сімейний стан населення, джерела засобів існування, житлові умови. Крім статистиків його прроводять спеціально підготовлені реєстратори чи обліковці, які записують дані опитування в статиститчні формуляри.

Одноразові обліки проводять на місцях згідно з інструкцією статистичного органу. Так виконують переписи промислового устаткування, залишків сировини, матеріалу, плодово-ягідних насаджень, обліки худоби, посівних площ і т. ін.

Спеціальні статистичні обстеження переважно вибіркові. Це обстеження бюджетів сімей, службовців ррацівників сільського господарства, бюджету часу населення, рівня цін на колгоспних ринках.

Дата добавления: 2015-08-09