Гипербола

Определение. Гиперболой называется линия, для всех точек которой модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы .

y

M (x, y)

b

r ₁

r ₂

x

F ₁ a F ₂

c

По определению

ï r ₁ – r ₂ï= 2 a.

F ₁, F ₂ – фокусы гиперболы.

F ₁ F ₂ = 2 c.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси гиперболы связаны соотношением:

c ² = a ² + b ²

Ось 2 а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2 b называется мнимой осью гиперболы.

Прямоугольник со сторонами 2 а и2 b называется основным прямоугольником гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Замечание. Для гиперболы эксцентриситет .

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a /ε от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Определение. Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны ().

Ее каноническое уравнение .

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояние между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается : .

Кривая, определяемая уравнением , также есть гипербола, действительная ось которой расположена на оси , а мнимая ось – на оси .

Гиперболы и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Пример. Составьте уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса, заданного уравнением

Найдем фокусное расстояние для эллипса:

c ² = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы:

c ² = a ² + b ² = 16, ε = c / a = 2; c = 2 a; c ² = 4 a ²; a ² = 4; b ² = 16 – 4 =12.

Тогда искомое уравнение гиперболы .

Дата добавления: 2015-08-18