Каноническое уравнение эллипса .

у

b М

r ₁ r ₂

–а с а

F ₁ O F ₂ х

–b

F ₁, F ₂ – фокусы, F ₁ (– c; 0); F ₂(c; 0)

с – половина расстояния между фокусами; a – большая полуось; b – малая полуось.

МF ₁ =r ₁, МF ₂ =r ₂.

и называются фокальными радиусами. ,

По определению эллипса r ₁ +r ₂=2 а.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a ² = b ² + c ².

Определение. Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является эксцентриситет – величина, определяемая отношением: .

Замечание. Для эллипса .

Определение. Прямые называются директрисами эллипса.

Теорема. Если ­­– расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусы директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: .

Замечание. Если a = b, то c = 0, а значит, фокусы сливаются, и эллипс превращается в окружность.

Если же , то уравнение определяет эллипс, большая ось которого лежит на оси Оу, а малая ось – на оси Ох. Фокусы такого эллипса находятся в точках F ₁ (0;с); F ₂(0;-с), где b ² = a ² + c ².

Пример. Составьте уравнение эллипса, если его фокусы F ₁(0; 0), F ₂(1; 1), а большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: .

Расстояние между фокусами: 2 c = , таким образом,

a ² – b ² = c ² = .

По условию большая ось равна 2, то есть 2 а = 2, откуда получаем, что

а = 1, b = .

Тогда искомое уравнение эллипса имеет вид: .

Дата добавления: 2015-08-18