Метод визначальних координат

Залежні струми віток кола (ребер дерева) визначають на основі незалежних (контурних) струмів за першим законом Кірхгофа. Залежні напруги віток (хорд) знаходять на основі незалежних (вузлових) напруг за допомогою другого закону Кірхгофа.

Кількість струмів чи напруг, що дають змогу визначити всі струми чи напруги віток кол, може бути значно меншою від кількості незалежних (контурних) струмів чи незалежних (вузлових) напруг, якщо для визначення всіх інших струмів і напруг віток користуватися одночасно обома законами Кірхгофа.

Систему мінімальної кількості координат (струмів чи напруг), на основі яких можна за обоиа законами Кірхгофа визначити всі інші координати режиму кола, називають визначальними координатами, а метод їх знаходження – методом визначальних координат. Рівняння методу виводять або з вузлових і контурних рівнянь у координатах струмів віток (метод визначальних струмів), або в координатах напруг віток (метод визначальних напруг).

Наприклад, в електричному колі, граф якого показаний на рис. 2.4, є три визначальні струми (це можуть бути струми, припустімо, ребер 1, 3, 4) чи три визначальні наруги (наприклад, тих же ребер 1, 3, 4). Користуючись законами Кірхгофа, на основі цих струмів чи напруг обчислюють всі інші координати кола. Так, у методі визначальних струмів (вектор-стовпець таких струмів позначатимемо символом за струмами та на основні рівняння першого закону Кірхгофа для вершини знаходимо струм з рівняння для вершини - струм (та - задані ДС у вершинах). За другим законом Кірхгофа у координатах струмів віток, для контурів, утворених ребрами 1, 5, 6; 2, 3, 7 та 3, 4, записуємо рівняння (наприклад, для першого контура ) і знаходимо струми , , . Після цього записуємо рівняння першого закону Кірхгофа для вершин , , , , в яких визначаємо струми , , та і т.д.

Отже, якщо відомі визначальні координати, обчислення всіх інших координат режиму кола не становить труднощів. Однак одержання визначальних координат – задача непроста, і саме ту виконується основна робота. Обсяг її тим більший, чим нижчий порядок вектора визначальних координат.

Метод визначальних координат викладемо стосовно методу визначальних струмів. Тут в основу покладемо векторні вузлові та контурні рівняння (2.16) в координатах струмів віток, яке компактно можна записати

(2.46)

де - квадратна матриця -ого порядку, яка складається з двох субматриць-блоків

(2.47)

Багатовимірний вектор-стовпець має першим складовими ДС кола; інші складові є контурними ЕРС кола.

Для виведення рівняння визначальних струмів матрицю розбиваємо на чотири субматриці-блоки

І здійснюємо переміщення її рядків і стовпців так, щоб субматриця була трикутною матрицею максимально високого порядку. Нагадаємо, що при взаємній заміні двох рядків матриці необхідно взаємно замінити відповідні цим рядкам елементи багатовимірного вектора правої частини рівняння, а при взаємній заміні двох стовпців матриці треба провести взаємну заміну відповідних елементів багатовимірного вектора-множника .

Отже, маємо векторне рівняння

яке можна записати у вигляді системи

(2.48)

Усуваючи з цієї системи рівнянь багатовимірний вектор-стовпець , знаходимо

(2.49)

де

(2.50)

Рівняння (2.49) дає змогу обчислити вектор-стовпець струмів , після чого визначаємо вектор-стовпець з рівняння

(2.51)

Тому що трикутна матриця, складові обчислюються з рівняння (2.51) послідовно, без знаходження оберненої матриці .

Отже, вектор-стовпець - вектор, що означає струми всіх віток кола, тобто є вектором- стовпцем визначальних струмів , а рівняння (2.49) – векторне визначальних струмів

(2.52)

Рівняння методу визначальних напруг виводиться з (2.18) подібно до методу визначальних струмів.

Формування векторного рівняння визначальних струмів способом переміщення рядків і стовпців матриці покажемо на прикладі електричного кола однієї фази ЕЕС рис. 2.5, а (її граф зображений на рис. 2.5, б) У ції схемі нижня система надпровідних віток утворює так звану нульову шину фази мережі, тобто один вузол N, який приймаємо на базовий. Розглядаємо одну фазу, оскільки система симетрична.

Матриця схеми згідно з (2.47)

=

Переміщаємо взаємно рядки (у загальному випадку й стовпці) матриці , дістанемо трикутну матрицю максимально високого порядку як компонент першої

Відповідно до поділу матриці вектор-стовпець струмів віток ділиться на два компоненти

Вектор-стовпець є вектором визначальних струмів, тобто

Багатовимірний вектор-стовпець правої сторони поділений на дві складові

Отже, визначальними струмами схеми рис. 2.5 можуть бути два струми - та . За цими струмами обчислюємо струм на основі рівняння струмів у вузлі (рядок впорядкованої матриці ), в саме . Далі з контурного рівняння контура (рядок впорядкованої матриці ) знаходимо струм , тобто звідки .

У такій послідовності (зверху вниз) з векторного рівняння з упорядкованою матрицею легко визначаємо струми кола.

Таким чином, обчислення струмів системи за визначальними струмами зводиться до розв’язання рівняння (2.51), яке в нашому випадку записуємо у вигляді

Невідомі складові вектора-стовпця обчислюємо по черзі, розглядаючи кожний рядок матриці зокрема, починаючи від першого верхнього рядка.

Основною складністю методу формування рівнянь визначальних струмів. У викладеному вище способі найтрудомісткіше впорядкування матриці та знаходження за (5.52) вектора визначальних струмів . Правда, звичайно порядок матриці невисокий, а обернена матриця , яка входить до складу матриці , є оберненою трикутної матриці ; остання, як відомо, визначається просто.

Для формування рівнянь визначальних струмів розроблено ряд спеціальних методів. Розглянемо два з них.

Перший метод полягає в вираженні всіх струмів віток кола через визначальні струми. Прийнявши визначальних струмів , , … і використовуючи по черзі () вузлових і контурний рівнянь кола, за допомогою цих струмів виражаємо всі інші струми віток. Векторне рівняння визначальних струмів, або систему рівнянь, записуємо, користуючись невикористаними ще контурними ще контурними й вузловими рівняннями мережі.

Другим методом формування рівнянь визначальних струмів є чисельний метод.

Якщо замість дійсного вектора-стовпця визначальних струмів підставимо у рівняння (2.52) довільний -вимірний вектор-стовпець , то дістанемо залежність

(2.53)

де - -вимірний вектор-стовпець нев’язок, зумовлений відхиленням вектора від дійсного значення .

Коли прийняти, що вектор дорівнює нулеві, тобто

то з рівняння (2.53) знаходимо

(2.54)

Одержаний вираз дає змогу обчислити вектор .Для цього необхідно прийняти, що всі визначальні струми дорівнюють нулеві, та знайти за їх допомогою струми віток кола, використовуючи для цього () контурних і вузлових рівнянь. Використовуючи знайдені таким чином струми віток, складаємо інші, невикористані контурні та вузлові рівняння, а причому вони складаються у такій формі, щоб їх праві сторони дорівнювали нулеві, а саме:

для вузлів ; для контурів :

(2.55)

Якщо визначальні струми прийняті рівними нулеві, то одержані струми віток не відповідають їхнім дійсним значенням і праві сторони контурних і вузлових рівнянь, які складені згідно (2.55), дорівнюватимуть нулеві. Числові значення правих сторін цих рівнянь визначатимуть складові багатовимірного вектора0стовпця .

Елементи матриці рівняння визначальних струмів

знаходимо подібно, як елементи вектора-стовпця , причому беремо по черзі такі числові значення визначальних струмів:

(2.56)

Таблиця 2.1

Час- тини	Струм	Елемент мережі	Рівняння	Вираз струму	Числові значення	Визна- чені струми
						2,14286
					0,43810
						0,70476
					0,26666
					-0,82856
					-0,02858
					-0,06664
					-0,96194
					0,10480
					-1,85714

Для визначення елементів -го стовпця матриці

Приймемо, що -й визначальний струм дорівнює одиниці, а всі інші визначальні струми – нулеві:

Підставляючи значення визначальних струмів у рівняння (2.53), дістаємо

або

(2.57)

Приймаючи по черзі тобто записуючи за порядком визначальні струми згідно (2.56), обчислюємо для кожної системи прийнятих струмів вектори-стовпці які дають змогу на основі (2.57) визначити елементи стовпців матриці .

Як приклад знаходження визначальних струмів чисельним методом і розрахунку струмів віток розглянемо схему (рис. 2.5), що має, як було показано вище, два визначальні струми. Для спрощення викладу приймаємо, що всі джерела ЕРС, струмів та імпеданси всіх віток дорівнюють умовній одиниці. Результати розрахунку наводимо в табл. 2.1, яка складається з трьох частин. У першій частині записані значення визначальних струмів, у другій – значення струмів решти віток кола в тому порядку, в якому обчислюються по черзі за визначальними струмами за допомогою контурних і вузлових рівнянь кола. З існуючих десяти лінійно незалежних рівнянь для обчислення струмів другої частини табл. 2.1 обчислені складові векторів нев’язок рівнянь (2.55) для невикористаних у другій частині двох контурний рівнянь контурів III і IV (див. рис. 2.5).

У першому стовпці записані порядкові номери частин табл.. 2.1, у другому – символи струмів, а у третьому – елементи мережі (вузли та контури), для яких складені рівняння, що записані у четвертому стовпці для визначання відповідних струмів; у п’ятому стовпці записані вирази невідомих струмів через інші відомі. У шостому, сьомому та восьмому стовпцях наведені обчислені значення струмів кола. За даними третьої частини табл. 2.1, згідно з (2.54) згідно з (2.57) Отже, рівняння визначальних струиів виражається як

З якого обчислені струми , а далі, в другій частині табл. 2.1, знайдені всі інші струми.

Оцінюючи з формального погляду викладені у параграфах 2.3 – 2.6 методи аналізу електричних кіл (методи законів Кірхгофа, незалежних (вузлових) напруг, визначальних координат), приходимо до висновку, що всі вони є фактично методами зниження порядку системи рівнянь стану електричного кола, складеного на базі основних рівнянь.

Власне кажучи, якщо не існувало б проблеми розв’язування рівнянь високих порядків, то потреба в таких методах відпала б. Як буде показано в четвертому розділі, застосування для цієї мети оптимізованого алгоритму Гаусса, що працює лише з ненульовими елементами компонентів рівнянь стану, наближує нас до успішного розв’язання вказаної проблеми.

Але й тоді, коли вона буде якнайуспішніше подолана, методи незалежних і визначальних координат залишаться актуальними щонайменше з двох причин. По перше, вони забезпечують най економніший алгоритм (за обсягом пам’яті та обчислювальних операцій засобів перетворення інформації) в тому разі, коли під час аналізу режимів систем досить обмежитись тільки значеннями незалежних чи визначальних координат, що, між іншим, часто трапляється в практиці. По друге, основні поняття, категорії, увесь апарат незалежних і визначальних координат має методологічне значення як один із фундаментальних компонентів теорії електричних кіл.

Дата добавления: 2015-08-18