Метод координат віток

МЕТОД НЕЗАЛЕЖНИХ НАПРУГ.

МЕТОД ВУЗЛОВИХ НАПРУГ.

МЕТОД МІЖВУЗЛОВИХ НАПРУГ.

МЕТОД КООРДИНАТ ВІТОК

Порядок вузлових і контурних рівнянь можна знизити також у координатах напруг віток, якщо скористатися підставленням на основі контурного рівняння. У результаті одержуємо систему () рівнянь методу незалежних напруг.

Контурне рівняння пов’язує між собою напруг віток лінійно незалежними рівняннями. Отже, завжди на основі цих рівнянь напруг віток можна виразити за допомогою решти напруг. Для цього розбиваємо вектор-стовпець напруг на дві складові вимірну складову , що відповідає ребрам дерева графа, та -вимірну складову , яка відповідає хордам графа кола. Представляючи матрицю відповідними цим складовим субматрицям контурів та , контурне рівняння (2.13) запишемо у вигляді

,

звідки

(2.35)

Співвідношення (2.35) можливе лише тоді, коли субматриця є квадратною неособливою. Умова забезпечується, оскільки субматриця - це друга матриця інциденцій хорд. Компоненти вектора-стовпця н утворюють жодного замкненого контура. Такий вектор-стовпець напруг , що відповідає названій умові, і є вектором-стовпцем незалежних напруг. Напруги хорд визначаються безпосередньо за напругами ребер дерева на основі (2.35).

Далі запишемо

(2.36)

Матрицю

(2.37)

називають матрицею перетворення незалежних напруг. При множенні зліва вектора-стовпця незалежних напруг на матрицю він перетворюється у вектор стовпець напруг віток.

Порівнюючи матрицю перетворенні незалежних напруг (2.37), а матрицею головних перетинів з врахуванням співвідношення (1.46) бачимо, ця матриця, складена для головних контурів, тобто при , дорівнює транспонованій матриці головних перетинів, а саме

(2.36)

Підставляючи вираз вектора-стовпця з (2.36) у вузлове рівняння (2.17), одержуємо

,

(2.38)

Яке і є рівнянням методу незалежних напруг.

Матриця

(2.39)

- вимірна матриця адмітансів незалежних вузлів.

Матриця

(2.40)

- вимірна матриця перетворення ЕРС. Множенням цієї матриці на вектор-стовпець ЕРС останній перетворюємо на вимірний вектор-стовпець ДС .

Отже, рівняння методу незалежних напруг можна записати

(2.41)

Знайдений з рівняння (2.41) вектор-стовпець незалежних напруг (напруг ребер дерева) дає змогу на основі залежності (2.35) знайти всі інші напруги – вектор-стовпець залежних напруг (напруг хорд).

У загальному випадку матриця є несиметричною. ЇЇ не можна записати безпосередньо зі схеми, а треба обчислювати на основі залежності (2.39), що ускладнює використання рівняння (2.41).

Легко переконатися, що вектор-стовпець вузлових напруг зв’язаний з векором-стовпцем напруг віток співвідношенням

,

(2.42)

тобто Отже, рівняння незалежних напруг (2.41) за такої умови перетворюється в рівняння вузлових напруг

(2.43)

де матриця вузлових адмітансів

діагонально симетрична й для кола без взаємоіндуктивностей формується за відомим з електротехніки мнемонічним правилом. Рівняння (2.43) є векторним рівнянням методу вузлових напруг.

Рівняння напруг дерева, аналогічне (2.38), можна вивести на основі вузлового рівняння, записаного з допомогою матриці перетинів у вигляді (2.11). Виконавши відповідні операції щодо цього рівняння, подібно як під час виведення векторного рівняння незалежних напруг (2.38), та враховуючи, що для головних контурів , отримуємо окремий випадок рівняння методу незалежних напруг:

(2.44)

де матриця

є діагонально симетричною вимірною матрицею адмітансів, яка кола без взаємо індуктивностей формується за таким мнемонічним правилом: діагональний елемент дорівнює сумі адмітансів віток, інцидент них даному головному перетинові елемент дорівнює зі знаком „мінус„ сумі адмітансів зв’язку між головними перетинами та .

Матриця

є матрицею перетворення джерел ЕРС в еквіваленті ДС головних перетинів. Перемножуючи на цю матрицю вектор-стовпець джерел ЕРС віток , останній перетворюємо у вектор-стовпець таких ДС. А -й компонент цього вектора-стовпця дорівнює алгебричній сумі витоку струмів короткого замикання віток, інцидентних даному головному перетинові.

Очевидно, вектор-стовпець напруг віток

.

Метод, що грунтується на векторному рівнянні (2.44), називають методом міжвузлових напруг, оскільки напруги дерева і напруги хорд, а отже, вектор-стовпець напруг віток в цілому, є вектором міжвузлових напруг.

У задачах електроенергетики застосовується також так званий метод координат віток, рівняння якого становлять рівняння віток (2.6), вузлові рівняння (2.9) і рівняння (2.42), тобто

Це векторне рівняння містить рівнянь. Його порядок можна знизити, якщо на основі (2.42) усунути вектор-стовпець) , а саме

(2.45)

Рівняння методу координат віток (2.45) має й порядок. Але з цим порівняно з іншими методами він має дві істотні переваги – найпростіший алгоритм формування рівнянь і найвищу (крім методу основних законів електричного кола) розрідженість матриці коефіцієнтів, тобто має найменшу кількість ненульових елементів (НЕ). Важливість останньої властивості буде з’ясована у четвертому розділі.

Приклад 2.2 Покажемо застосування методу незалежних напруг для розрахунку лінійного кола з взаємо індуктивно зв’язаними вітками, схема якого показана на рис 2.3, а. Граф кола зображений на рис. 2.3, б. Дерево відповідає ребрам 1,2,3, хорди – ребрам 4,5,6. Коло задане такими фізичними величинами:

; ; ; ; ; ; ;

Складемо для графа рис. 2.3, б топологічні матриці

;

Формуємо субматриці

; .

Матриця перетворення незалежних напруг

Матрицю адмітансів незалежних вузлів знаходимо як обернену матрицю імпедансів віток

Обернену матрицю можна визначити, розбивши одержану матрицю на субматриці-блоки. Щоб спростити розрахунки, доцільно зробити таке переставлення рядків і стовпців:

буде оберненою , коли виконається рівність , тобто

звідки знаходимо

; ; ; ;

Користуючись методом підставлення розв’язування одержаної системи матричних рівнянь, визначаємо

; ; ; .

Очевидно, при потребі матрицю можна розбити на більшу кількість блоків, що призведе до збільшення кількості компонентів матричних рівнянь.

Визначивши для розглядуваного колі субматриці , , , , записуємо

де

.

Знаходимо матрицю адмітансів незалежних вузлів згідно з (2.39) (у матриці відновлений порядок рядків і стовпців)

Підставляючи числові дані, визначаємо

.

Для знаходження матриці можна перевести обчислення в площину дійсних, що часто зменшує обсяг. В алгебраїчній комплексній формі записуємо

,

Після перемноження і розділення дійсної та уявної частини дістаємо систему матричних рівнянь

.

з яких на основі методу підставлення знаходимо

У нашому випадку

Виконавши обчислення за наведеними формулами, маємо

Отже,

Тривимірний вектор-стовпець еквівалентних ДС

80 .  

Тривимірний вектор-стовпець заданих ДС

.

Результуючий вектор-стовпець джерел струмів

.

Тривимірний вектор-стовпець незалежних напруг

Обчислюємо вектор-стовпець напруг віток

Багатовимірний вектор-стовпець ЕРС віток в алгебричній формі

Вектор-стовпець спадів напруг віток

Вектор-стовпець струмів віток

Як правило, з міркувань простоти й економічності алгоритмів аналізу електричних кіл належить користуватись методом вузлових чи міжвузлових напруг. Метод незалежних напруг має важливе методологічне значення як узагальнення обох названих методів.

Дата добавления: 2015-08-18