Формы записи комплексных чисел

Определение 4. Если вещественную a и мнимую b части комплексного числа выразить через модуль r = |z| и аргумент φ: a=r cosφ, b = r sinφ, то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме:

z = r (cosφ + i sinφ)

Определение 5. Показательная форма записи комплексных чисел тесно связана с тригонометрической через формулу Эйлера:

z = r e ^iφ

где .

Пример 2

1) ;

2) ;

Определение 6. Запись комплексного числа z в виде a + bi, , называется алгебраической формой комплексного числа.

5. Сопряжённые числа

Определение 7. Если комплексное число z = x + iy, то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также z ^*).

На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

· (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

·

·

·

·

Обобщение: , где p (z) — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.

·

·

Пример 3

Даны комплексные числа: . Определить действительную, мнимую часть комплексного числа, вычислить сопряженное и противоположное числа.

1) z = 1 + i

Re z = 1,

Im z = 1,

= 1 – i

= –1 – i;

2) z = –1 + i Þ Re z = –1, Im z = , = –1 – i, = –1 – i;

3) z = 5 + 0 i = 5 Þ Re z = 5, Im z = 0, = 5 – 0 i = 5, = –5 – 0 i = –5

Þ если Im z = 0, то z = x — действительное число;

4) z = 0 + 3 i = 3 i Þ Re z = 0, Im z = 3, = 0 – 3 i = –3 i, = –0 – 3 i = – 3 i

Þ если Re z = 0, то z = iy — чисто мнимое число.

1) ;

2) .

Дата добавления: 2015-08-09