Примеры решения задач. Пример 1. Через вращающийся вокруг горизонтальной оси блок (рис.1а) перекинута

Пример 1. Через вращающийся вокруг горизонтальной оси блок (рис.1а) перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой привязаны грузы и . Найдите силу давления блока на ось при движении грузов. Массой блока и трением в оси можно пренебречь.

Решение. Пусть для определенности > , тогда направления ускорений и грузов будут такими, как показано на рис. 1а.

На каждый из рассматриваемых грузов действует сила тяжести и сила натяжения нити. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в векторном виде

(4)

(5)

Невесомость нити позволяет считать силу натяжения нити постоянной. Неизменность силы натяжения нити при переходе через блок следует из условия, что масса блока пренебрежимо мала и трения в оси блока нет.

На блок действуют две силы натяжения нити равные по модулю силе и сила реакции оси (рис. 1б) Центр масс блока неподвижен, следовательно, сумма сил, действующая на него, равна нулю, т.е. Согласно третьему закону Ньютона сила реакции равна искомой силе давления блока на ось.

Запишем уравнения (4) и (5) в проекциях на ось (рис.1а),

,

Так как нить нерастяжима, (это уравнение кинематической связи). Решая полученную систему уравнений, учитывая это, найдем

и, следовательно,

Н.

Следует отметить, что полученные значения силы натяжения нити лежат в пределах , а сила давления блока на ось меньше суммарной силы тяжести обоих грузов. При грузы будут находиться в состоянии покоя или равномерного движения, и тогда сила давления блока на ось будет равна сумме сил тяжести обоих грузов.

Пример 2. В установке, изображенной на рисунке 2, массы тел равны , массы блока и нитей пренебрежимо малы и трения в блоке нет. Найдите ускорение , с которым опускается тело , и силу натяжения нити, связывающую тела , если коэффициент трения между этими телами и горизонтальной поверхностью равен .

Решение.Прежде всего, изобразим силы, действующие на тела. Это

силы тяжести , силы реакции опоры со стороны стола, силы натяжения нитей и силы трения , направленные в сторону противоположную движению тел.

Свяжем прямоугольную систему координат с горизонтальной поверхностью, а направления осей выберем такими, как показано на рис. 2.

Запишем второй закон Ньютона в векторном виде для каждого тела

При записи этих уравнений в проекциях на оси и учтем, что: а) модули ускорения тел равны (уравнение кинематической связи), т.к. нити нерастяжимы; б) и , так как массы нитей и блока пренебрежимо малы, а трения в оси блока нет.

На ось

На ось

Учтем также, что

, .

Решая, полученную систему уравнений, найдем ускорение груза

,

И силу натяжения нити, связывающей тела и

.

Пример 3. Шайбу поместили на наклонную плоскость, составляющую угол с горизонтом. Если шайбе сообщить некоторую начальную скорость вверх по плоскости, то она до остановки проходит путь ; если же сообщить ту же начальную скорость вниз, то путь до остановки равен . Найдите коэффициент трения, зная, что .

Решение.Рассмотрим первый случай. Шайбе сообщили скорость , направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Изобразим силы, действующие на шайбу (рис.3). Запишем второй закон Ньютона в векторном виде:

(6)

Свяжем с наклонной плоскостью прямоугольную систему координат Ось направим вдоль наклонной плоскости, ось – перпендикулярно ей. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси

Учитывая, что , найдем ускорение шайбы

. (7)

Выбирая начало отсчета координаты в точке старта, и учитывая, что ускорение шайбы не меняется с течением времени, запишем уравнения ее движения

(см. раздел “Кинематика материальной точки”). Так как в момент остановки а найдем путь, пройденный телом за время движения

(8)

Рассмотрим второй случай. Шайбе сообщили скорость вниз вдоль наклонной плоскости (см. рис. 4). Уравнение (6) в проекциях на оси и будет иметь вид

Решая эту систему уравнений, учитывая что , найдем ускорение шайбы

. (9)

Точно также как и в первом случае найдем путь, пройденный телом до остановки

(10)

Из уравнений (7) ÷ (10)и условия задачи следует, что

.

Решая это уравнение, найдем коэффициент трения между шайбой и наклонной плоскостью

Пример 4. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы и на ней брусок массы . К бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем по закону , где – постоянная. Найдите зависимости ускорений доски и бруска от времени , если коэффициент трения между доской и бруском равен . Изобразить примерные графики этих зависимостей.

Решение. Изобразим силы, действующие на доску и брусок (рис. 5) и запишем второй закон Ньютона для каждого тела в векторном виде

Заметим, что силы и , т.к. это силы взаимодействия доски с бруском, которые согласно третьему закону Ньютона равны между собой.

Первое уравнение запишем в проекции на ось а второе в проекциях на оси и

(11)

По мере возрастания силы будет расти и сила трения , которая до некоторого момента времени будет является силой трения покоя, поэтому доска с бруском вначале будут двигаться как одно целое ( – уравнение кинематической связи) с ускорением, которое найдем из первых двух уравнений системы (11)

.

После того, как сила трения достигнет своего максимального значения , брусок начнет скользить относительно доски. Таким образом, при из системы уравнений (11) найдем ускорения доски и бруска

, .

Найдем момент времени , когда брусок начнет скользить относительно доски. В этот момент времени

откуда следует, что

.

На рис. 6 изображены примерные графики этих зависимостей.

Пример 5. Частица движется вдоль оси по закону , где и – положительные постоянные. В момент времени сила, действующая на частицу, равна . Найдите значения силы в точках поворота и в момент, когда частица опять окажется в точке .

Решение. В этой задаче необходимо найти силу, если известна зависимость координаты от времени и начальные условия. Эта задача сводится к дифференцированию по времени.

Найдем скорость и ускорение частицы

(12)

Учитывая, что , получим

Найдем массу частицы, зная, что в начальный момент времени ,

Тогда для зависимости получим следующее выражение:

(13)

Это уравнение позволяет найти силу в любой момент времени

1) Найдем значение силы в точках поворота. Так как в этих точках определим с помощью уравнения (12) моменты времени, когда частица остановится

Это уравнение имеет два решения

и .

Первое решение соответствует начальному моменту времени, второе соответствует моменту поворота частицы. Точка поворота получилась одна. Подставляя это значение в (13), найдем значение силы в этот момент времени

2) Найдем момент времени, когда частица снова окажется в точке

.

Это уравнение имеет два решения

и .

Первое решение соответствует начальному моменту времени, поэтому, подставляя второе значение в уравнение (13), найдем силу, действующую на частицу в этот момент времени

Пример 6. В момент времени частица массы начинает двигаться под действием силы , где и - постоянные. Сколько времени частица будет двигаться до первой остановки? Какой путь она пройдет за это время? Какова максимальная скорость частицы на этом пути?

Решение. Найдем зависимость скорости частицы от времени

откуда

Интегрируя правую и левую части этого уравнения

получим

.

Максимальное значение функции , значит

Найдем время движения частицы до первой остановки. Так как в этот момент времени получим

Определим путь, пройденный частицей до первой остановки

.

Пример 7. На тело массы , лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент начала действовать сила, зависящая от времени как , где - постоянная. Направление этой силы все время составляет угол с горизонтом (см. рис. 7).

Найти: а) скорость тела в момент отрыва от плоскости; б) путь, пройденный телом к этому моменту.

Решение. Свяжем систему отсчета с плоскостью, а оси координат направим так, как показано на рис. 7.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси и

откуда

.

Определим время , соответствующее моменту отрыва тела от плоскости (в этот момент )

.

Найдем зависимость скорости от времени

откуда найдем скорость тела в момент отрыва

Определим путь, пройденный телом к моменту отрыва

Пример 8. Небольшое тело соскальзывает с вершины гладкой полусферы радиуса . Найдите скорость тела в момент отрыва от поверхности полусферы, если его начальная скорость пренебрежимо мала.

Решение. Изобразим силы, действующие на тело в произвольный момент времени (рис. 8). Это сила тяжести и сила реакции опоры Ускорение с которым движется тело относительно полушара равно

где и – нормальное и тангенциальное ускорения. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси и

(14)

(15)

Пусть за малый промежуток времени тело совершит перемещение тогда

(16)

где – скорость тела в данный момент времени. С другой стороны

(17)

где – угловое перемещение, которое оно пройдет за это время (см. рис. 8). Исключая из уравнений (15) ÷ (17) и получим

Интегрируя это выражение

находим, что

(18)

где – скорость тела в момент отрыва, а – угол, характеризующий положение тела в момент отрыва. Так как в этот момент времени сила реакции опоры становиться равной нулю, уравнение (14) перепишем в виде

(19)

Решая совместно уравнения (18) и (19), найдем скорость тела относительно полушара в момент отрыва

Дата добавления: 2015-08-18