Составление уравнений для цепей с взаимной индуктивностью

Рассмотрим примеры составления уравнений по законам Кирхгофа для простейших цепей, содержащих индуктивно-связанные катушки.

+

R

Пример.1

Рис. 2.3.

Составить уравнения по методу токов ветвей (т.е. по первому и второму законам Кирхгофа) для цепи рис. 2.3. в режиме гармонических колебаний

Линейно-независимая система уравнений для данного примера будет состоять из трех уравнений. Одно из них составляется по 1-ому и два по 2-му законам Кирхгофа. Индуктивно-связанные катушки включены согласно, так как токи катушек ориентированы одинаковым образом относительно однополярных зажимов. Составим уравнения Кирхгофа для верхнего узла и для двух выделенных на схеме контуров:

1.

2.

3.

Где напряжения на катушках:

Пример.2

Последовательное соединение индуктивно связанных катушек при согласном (рис 2.4а) и встречном (рис 2.4б) их включении.

		а)

Рис. 2.4.

Через обе катушки проходит один и тот же ток. Напряжение на входе цепи равно сумме напряжений ветвей:

Знак плюс относится к согласному, а знак минус к встречному включению катушек. Таким образом, при последовательном соединении катушек эквивалентная индуктивность:

при наличии магнитной связи увеличивается на 2M при согласном включении и уменьшается на ту же величину при встречном включении катушек. Отметим, что при и при совершенной связи (K=1 и ) эквивалентная индуктивность при согласном включении ,а при встречном

Трансформаторы

Простейший трансформатор представляет из себя две индуктивно связанные катушки, называемые обмотками (рис. 2.4.)

Рис. 2.4. Схема замещения трансформатора.

В трансформаторах с сильной связью (коэффициент связи ) обмотки располагаются на ферромагнитном сердечнике. Трансформатор без ферромагнитного сердечника называется воздушным. В трансформаторах с ферромагнитным сердечником зависимость между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля не является линейной. Поэтому при передаче энергии в таком трансформаторе могут быть нелинейные искажения. Однако в правильно спроектированном трансформаторе эти искажения достаточно малы и во многих случаях можно считать трансформатор со стальным магнитопроводом - линейным элементом.

В схеме рис 2.4 предполагается, что со стороны первичной обмотки действует источник напряжения , а к вторичной обмотке подключена нагрузка . Сопротивления и являются сопротивлениями соответствующих обмоток, тоесть обусловлены потерями энергии в обмотках. Для первичного и вторичного контуров трансформатора, согласно второму закону Кирхгофа, можно записать следующие соотношения:

,

,

Часто два зажима катушек трансформатора имеют общий узел (рис 2.5 а)

		а)		б)

Рис. 2.5 Трансформатор с общим узлом и его Т-образная схема замещения без индуктивных связей (рис 2.5б). Эквивалентность двух схем следует из того, что для схемы замещения справедливы те же уравнения трансформатора (2.6).Действительно, учитывая, что для схемы замещения , запишем уравнение для входного и выходного контуров по 2-му закону Кирхгофа:

,

,

Нетрудно убедиться, что после раскрытия скобок эти уравнения будут совпадать с уравнениями трансформатора. Схема замещения трансформатора без взаимных индуктивностей позволяет использовать обычные методы анализа электрических цепей без их адаптации к цепям с магнитными связями.

Рассмотрим функции трансформатора, которые характеризуют передачу токов и напряжений от входных зажимов к выходным, то есть к нагрузке .

Из второго уравнения системы (2.6), разделив его на и учитывая, что ,

(2.9)

(2.8)

(2.7)

Получим функцию передачи по току:

Если разделим одно уравнение система (2.6) на другое, получим функцию передачи по напряжению:

Заметим, что если магнитная связь между катушками отсутствует,(), то

Со стороны входа (источника) трансформатор представляет из себя некоторое сопротивление ,

Которое называется входным и может быть определено из первого уравнения системы (2.6).

Первые два слагаемые в (2.9) определяются параметрами первичной стороны трансформатора. Третье слагаемое зависит от взаимной индуктивности и параметров вторичной стороны, включая нагрузку , то есть определяет некоторое сопротивление, вносимое из вторичной стороны в первичную за счет индуктивной связи. При отсутствии последней ( вносимое сопротивление равно нулю.

Предположим, что ферромагнитный сердечник трансформатора имеет сечение S, среднюю длину и абсолютную магнитную проницаемость , где магнитная постоянная; - относительная магнитная проницаемость материала (безразмерная величина).

Число витков первичной и вторичной обмоток обозначим и ,кроме того примем, что потоками рассеяния можно пренебречь, тоесть индуктивная связь является совершенной (). Как известно, магнитный поток в сердечнике будет пропорционален намагничивающей силе и обратно пропорционален сопротивлению магнитной цепи

То есть:

Поэтому потокосцепление первой катушки:

Где: есть индуктивность первичной катушки.

Таким образом, индуктивности пропорциональны квадрату числа витков, а их отношение:

Во многих случаях требуется, чтобы функции передачи не зависели от частоты в широком диапазоне частот.

Если пренебречь потерями в обмотках и предположить, что магнитная связь идеальная (), тогда функция передачи по напряжению (2.8) примет вид:

Трансформатор, у которого отсутствуют потери и идеальная индуктивная связь называется совершенным. Напряжения входа и выхода в таком трансформаторе связаны коэффициентом трансформации и функция передачи по напряжению является постоянной (не зависит от частоты).

Условием, при котором не будет зависеть от частоты функция преедачи по току, как следует из (2.7) является (а следовательно и ). При этом:

Совершенный трансформатор , у которого бесконечно большие значения индуктивностей, называется идеальным. Отношения токов и напряжения в таком трансформаторе определяется выражениями (2.11) и (2.12), т.е.

Его схемное обозначение на рисунке 2.6

Рис.2.6. Идеальный трансформатор.

Полная мощность первичной цепи трансформатора равна полной мощности вторичной цепи:

Входное сопротивление идеального трансформатора, нагруженного на сопротивление :

Таким образом, идеальный трансформатор преобразует уровни напряжений и тока в n раз согласно (2.11) и (2.12) при неизменной мощности, а также изменяет модуль сопротивления нагрузки в раз.

Приблизиться к условиям, при которых трансформатор является идеальным, можно применяя большое число витков и сердечник с высокой магнитной проницаемостью.

Дата добавления: 2015-08-13