Метод конечных разностей

Рассмотренная выше задача относилась к телам простейших форм — плоской стенке, цилиндру и шару. В практических расчетах часто возникает необходимость решения задачи об охлаждении или нагревании тела сложной конфигурации. Аналитическое решение такой задачи, особенно когда температурное поле зависит от всех трех координат, невозможно из-за большой сложности. В таких случаях часто используют приближённые способы решения, из которых чаще всего применяют метод конечных разностей. Сущность этого метода заключается в том, что непрерывный процесс теплообмена заменяют скачкообразным как в пространстве, так и во времени. При этом дифференциальное уравнение теплопроводности (10.3) заменяют уравнением в конечных разностях, которое, например, при одномерном тем­пературном поле принимает вид

(10.5)

В применении к плоской стенке рассматриваемый метод состоит в следующем. Стенку делят на слои одинаковой толщины Δх (рис. 10.4), обозначаемые номерами (n – 1), n, (n + 1), (n + 2) и т. д. Время также разбивают на промежутки Δτ, обозначаемые номерами k, (k + 1), (k + 2) и т.д. В этом случае t_n,k или θ_n,k обозначает температуру в середине n - го слоя в течение k - го промежутка времени и кривую изменения температур изображают ломаной линией.

Рис. 10.4. Схема использования метода конечных разностей для пластины

Если промежутки времени Δτ и толщины слоёв Δx выбрать таким образом, чтобы 2аΔτ/Δx²=1, получаем

t_n,k+1 = (t_n+1,k + t_n-1,k) / 2. (10.6)

Уравнение (10.6) показывает, что t_n,k+1 является среднеарифмети­ческим из t_n+1,k и t_n-1,k. Значение промежутка времени Δτ определяют из соотношения

Δτ = Δx²/(2 а). (10.7)

Толщину слоев Δх при решении конкретных задач выбирают такой, чтобы она была удобна для графического построения. Зная начальное распределение температур по толщине слоев стенки и определив указанным методом распределение температур через промежуток времени Δτ, повторяют построение для следующего интервала времени, для которого начальным распределением температур служит их значение найденное перед этим, и т. д.

Дата добавления: 2015-08-03