Теплопроводность при нестационарном

РЕЖИМЕ

Общие положения

В отличие от температурного поля при стационарном режиме температурное поле при нестационарном режиме меняется во времени. Количество переданной теплоты при нестационарном режиме также непостоянно, и поэтому неустановившийся тепловой процесс всегда связан с явлениями нагревания или, охлаждения тел.

Процессы нестационарной теплопроводности имеют большое значение для отопления, вентиляции, кондиционирования воздуха,
теплоснабжения и теплогенерирующих установок. Ограждения зданий
испытывают изменяющееся во времени (иногда резко) тепловое воздействие как со стороны наружного воздуха, так и со стороны помещения; таким образом, в массиве ограждения осуществляется процесс нестационарной теплопроводности.

Задача о распространении теплоты в условиях нестационарного режима в общем случае не может быть решена аналитическим путем вследствие большой ее сложности. Иначе говоря, невозможно найти функцию t = f(x, y, z, τ), которая одновременно удовлетворяла бы как дифференциальному уравнению теплопроводности, так и соответствующим условиям однозначности. Действительно, в общем случае движение теплоты в теле может происходить по всем трем координатным осям, и дифференциальное уравнение теплопроводности выведенное в разд.2 имеет вид

(10.1)

Для решения этого уравнения нужно найти постоянные интегрирования, а для этого необходимо знать краевые условия рассматриваемой задачи. Эти условия разделяются на временные и пространственные (граничные). Временные краевые условия предусматривают исходное распределение температуры в теле и относятся к моменту времени τ = 0. Пространственные краевые условия относятся к поверхностям, ограничивающим рассматриваемую среду. Эти условия могут быть заданы по-разному, например:

1) задаются распределение температуры на поверхности тела и её изменение во времени;

2) задаются величина теплового потока, проходящего через поверхность, и его изменения во времени. В соответствии с законом Фурье q = – λdt/dn, а это означает, что известен угол наклона касательной к температурной кривой в точке ее пересечения с поверхностью. Температура поверхности тела оказывается неизвестной;

3) задаются температура, t₀ среды, окружающей поверхность тела, и коэффициент теплоотдачи α между средой и поверхностью. Этот способ наиболее распространен на практике. Математически этот способ записывается формулой, получаемой из сравнения уравнений, выражающих законы Фурье и Ньютона:

q = – λdt / dn и q = α (t_ст – t₀),

откуда

(10.2)

Аналитическое решение дифференциальных уравнений теплопроводности возможно лишь для некоторых частных задач при ряде упрощений. В частности, из задач, представляющих наибольшее практическое значение, имеются аналитические решения для неограниченной плоской стенки, круглого цилиндра бесконечной длины и шара.

Данные решения достаточно сложны для практических расчётов. Рассмотрим эти решения.

10.2. Расчёт нестационарной теплопроводности неограниченной плоской пластины

Представим себе однородную плоскую стенку теплопроводностью λ и толщиной 2δ, которая намного меньше ее площади поверхности (рис. 10.1).

В начальный момент времени все точки стенки имеют одинаковую температуру t _a а затем с обеих сторон стенка подвергается действию среды с постоянной температурой t₀. При t₀ < t _a стенка охлаждается и требуется найти закономерность распределения температуры в стенке для любого значения времени τ. При указанных условиях температура стенки будет изменяться только вдоль оси х, направленной нормально к ее поверхности, т. е. температурное поле будет одномерным и дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье (10.1) примет вид

(10.3)

При анализе уравнений (10.2) и (10.3) методами теории подобия оказывается, что переменные можно сгруппировать в три безразмерных комплекса:

(10.4)

Рис. 10.1. Распределение температуры при охлаждении плоской неограниченной стенки

Критерий Био – одна из основных относительных характеристик интенсивности теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. В самом деле, выражение для Bi может быть представлено равенством: Bi = α: λ/δ, из которого следует, что критерий Био является количественной мерой интенсивности теплоотдачи с поверхности тела α по сравнению с интенсивностью притока теплоты изнутри тела к его поверхности (тепловая проводимость стенки λ/δ).

Критерий Фурье называют критерием тепловой гомохронности. Он характеризует связь между скоростью изменения температурного поля, физическими параметрами и размерами тела.

Для ускорения расчетов по определению температур стенки при ее нагревании или охлаждении на практике пользуются обычно графо­аналитическим методом, сущность которого состоит в том, что расчетные формулы записывают в форме критериальных уравнений вида:

(17.14)

Здесь θ_α = |t_а – t₀| – модуль избыточной температуры стенки в начальный момент времени;

θ_s,τ = |t_s – t₀| – модуль избыточной температуры на поверхности пластины в момент времени τ;

Q_a – тепловой поток в начальный момент времени;

Q_τ – тепловой поток в момент времени τ.

При вычислении критериев Bi и F₀ при расчёте плоской пластины толщиной 2δ в качестве характерного размера применяют половину толщины пластины, т.е. 2δ/2 = δ.

Для выполнения расчётов применяют графики (рис. 10.2 и 10.3).

Рис. 10.2. Изменение функции θ_s,τ/θа=f(Bi, F₀) для плоской стенки

Рис. 10.3. Изменение функции Q_τ/Q_а= f(Bi, F₀) для плоской стенки

Дата добавления: 2015-08-03