Несколько задач о делителях

Существует единственное число n = 1, которое имеет только один делитель. Числами с ровно двумя делителями являются простые числа n = р: они делятся на 1 и на р. Наименьшим числом, имеющим два делителя, является, таким образом, р = 2.

Исследуем числа, имеющие ровно 3 делителя. В соответствии с формулой имеем

3 = (α ₁ + 1) (α ₂ + 1)… (α_r + 1).

Так как 3 — простое число, то справа может существовать лишь один множитель, не равный 1. Отсюда r = 1, a α ₁ = 2. Таким образом,

n = p ₁².

Наименьшим числом с 3 делителями является n = 2² = 4. Это соображение, примененное к общему случаю, когда число делителей q является простым числом, позволяет получить, что

q = α ₁ + 1, т. е. α ₁ = q — 1 и n = р₁ ^{q -1};

наименьшим из таких чисел является

n = 2 ^{q -1}.

Рассмотрим следующий случай, когда существует ровно 4 делителя. Тогда соотношение

4 = (α ₁ + 1) (α ₂ + 1),

возможно только тогда, когда

α ₁ = 3, α ₂ = 0 или α ₁ = α ₂ = 1.

Это приводит к двум возможностям:

n = p ₁³, n = p ₁ p ₂;

наименьшее число с 4 делителями — это n = 6.

В том случае, когда имеется 6 делителей, должно выполняться соотношение

6 = (α ₁ + 1) (α ₂ + 1),

что возможно лишь тогда, когда

α ₁ = 5, α ₂ = 0 или α ₁ = 2, α ₂ = 1.

Это дает две возможности:

n = p ₁⁵, n = p ₁² p ₂;

при этом наименьшее значение имеет место в последнем случае, когда

p ₁ = 2, p ₂ = 3, n =12.

Этот метод можно использовать для вычисления наименьших натуральных чисел, имеющих любое заданное количество делителей.

Существуют таблицы, указывающие количество делителей для различных чисел. Они начинаются следующим образом:

Вы легко можете ее самостоятельно продолжить.

Будем говорить, что натуральное число n является сверхсоставным, если количество делителей у каждого числа, меньшего n, меньше, чем количество делителей у числа n. Глядя на нашу небольшую таблицу, мы видим, что

1, 2, 4, 6, 12

являются первыми пятью сверхсоставными числами. О свойствах этих чисел известно еще очень мало.

Дата добавления: 2015-08-05