линейные Дифференциальные уравнения высших порядков

Уравнение вида

(11.1)

называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка. Здесь (i=0,…,n) и непрерывные функции. Особенность таких уравнений: здесь линейность относительно у и ее производных, т.е. искомая функция и все ее n производных входят в уравнение только в первой степени (между собой они не перемножаются).

Если в (11.1) правая часть равна нулю, т.е. , то уравнение называется однородным. Если , то уравнение (11.1) называется неоднородным.

Теорема11.1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (11.1) равно сумме общего решения соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения (обозначим это решение через ) и произвольного частного решения исходного неоднородного уравнения (обозначим через ), то есть

(11.2)

12. линейные однородные Дифференциальные уравнения

Уравнение вида

(12.1)

называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n-го порядка. Здесь (i=0,…,n) непрерывные функции.

Не теряя общности рассуждения, рассмотрим линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка:

(12.2)

Понятия, аналогичные приведенным ниже верны и для дифференциальных уравнений более высокого порядка.

Теорема 12.1. Если и какие либо два частных решения линейного однородного дифференциального уравнения (12.2), то функция , где - постоянные, также является решением этого уравнения.

Определение 1. Функции и называются линейно независимыми при x (a,b), если (здесь R) тогда и только тогда, когда одновременно .

Определение 2. Функции и называются линейно зависимыми при x (a,b), если в равенстве хотя бы одно из чисел или .

Например, если , то функция зависит от таким образом: , если же , то .

Определение 3. Определителем Вронского (или вронскианом) для двух дифференцируемых и называется определитель:

(12.3)

Теорема 12.2. Если дифференцируемые функции и линейно зависимы при x (a,b), то их вронскиан при x (a,b).

Теорема 12.3. Если функции , линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (12.2) при x (a,b), то их вронскиан 0 при любом x (a,b).

Теорема 12.4. Если два частных решения , ЛОДУ (12.2) образуют фундаментальную систему решений на (a,b) (т.е.они линейно независимы или их вронскиан не равен нулю), то функция

, (12.4)

где , произвольные постоянные является общим решением этого уравнения.

Рассмотрим частный случай уравнений вида (12.2), когда коэффициенты при постоянные величины, а не переменные, зависящие от х. Итак, имеем линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами

, (12.5)

(. Частные решения уравнения (12.5) ищут в виде функции

. (12.6)

Подставив вместе с производными и в равенство (12.5) и сократив на , получим

. (12.7)

Уравнение (12.7) называется характеристическим уравнением. Формально, для его составления, можно в уравнении (12.5) заменить у на 1, на к, на . При решении квадратного уравнения (12.7) (, ) возможны три случая: . Для каждого случая приведем по два частных линейно независимых решений, образующих фундаментальную систему решений ЛОДУ (12.5). Согласно теореме 12.4 запишем по формуле (12.4): общее решение.

1. Корни характеристического уравнения (12.7) действительные числа и они различны , т.е.

.

Частными решениями ЛОДУ являются функции вида (12.6), т.е. , , они линейно независимы (можно показать, что их вронскиан не равен нулю). Общее решение уравнения (12.5) есть функция , т.е.:

. (12.8)

2. Корни характеристического уравнения (12.7) действительные числа и они совпадают , т.е.

.

Одно решение ЛОДУ (12.5) есть функция вида (12.6) , а второе частное решение (можно функцию и ее производные подставить в уравнение и убедиться, что она действительно является решением (12.5) при условии: , т.е. ). Эти две функции и линейно независимы (их вронскиан не равен нулю), следовательно общее решение (12.5) записывается: :

. (12.9)

3. Корни характеристического уравнения (12.7) комплексные числа , т.е.

.

Функции вида (12.6) комплексные функции, поэтому в качестве решений ЛОДУ согласно теореме 12.1 можно взять их линейные комбинации. Опуская выкладки, сразу запишем частные действительные решения ЛОДУ (12.5) и , они линейно независимы (их вронскиан не равен нулю). Общее решение имеет вид:

. (12.10)

Дата добавления: 2015-07-26