Парабола

Читайте также:

Пусть F и d - фиксированные точка и прямая плоскости , F . Параболой называется множество всех точек плоскости , для каждой из которых расстояние до точки F равно расстоянию до прямой d.

Коротко определение параболы можно записать так:

= { }.

Введём обозначение: . Пусть FD – перпендикуляр, проведённый из точки F к прямой d.

В прямоугольной декартовой системе координат , где О – середина отрезка FD, это множество точек имеет уравнение

(3)

Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы.

Перечислим основные объекты, связанные с параболой.

Название	Обозначение	Аналитическое задание в канонической
Фокус	F	F()
Директриса	d	x= -
Ось симметрии (прямая, проходящая через F перпендикулярно d)	l	y=0
Вершина	О	O(0, 0)
Фокальный радиус	МF

Директориальное свойство эллипса и гиперболы.

Пусть - эллипс (гипербола), – фокусы линии , - её директрисы. Точка плоскости принадлежит линии тогда и только тогда, когда отношение расстояния от этой точки до фокуса к расстоянию от неё до соответствующей директрисы равно эксцентриситету:

ЗАДАЧА.

Для линии, заданной своим каноническим уравнением, определите полуоси, расстояние между фокусами, эксцентриситет и уравнения директрис:

РЕШЕНИЕ.

Уравнение =1 является каноническим уравнением эллипса; . Тогда – полуоси этого эллипса. Расстояние между фокусами равно . Найдём : . Тогда . Эксцентриситет . Уравнения директрис имеют вид , то есть или .

ОТВЕТ: полуоси: ; расстояние между фокусами: . ЗАДАЧА.

Найдите каноническое уравнение гиперболы, если уравнения её директрис и эксцентриситет равен ;

РЕШЕНИЕ.

Чтобы записать каноническое уравнение гиперболы, необходимо найти . Уравнения директрис гиперболы имеют вид , поэтому . Эксцентриситет , поэтому . Учитывая, что , получаем: , откуда . Тогда = 44. Тогда каноническое уравнение гиперболы имеет вид: .