Задача.

Касательной к эллипсу (гиперболе, параболе) называется прямая, пересекающая эту линию в двух совпавших точках. Найдите уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением, в точке , принадлежащей линии.

РЕШЕНИЕ.

Пусть эллипс задан каноническим уравнением . Запишем параметрические уравнения прямой, проходящей через точку этой линии:

Заметим, что и одновременно не равны нулю.

Найдём направляющий вектор прямой, которая пересекает эллипс в двух совпавших точках.

Ищем общие точки прямой и эллипса: . Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые относительно степеней параметра t, а также учтём, что (так как точка принадлежит эллипсу): . Этот уравнение имеет совпавшие корни, если (как дискриминант квадратного уравнения). Положим . Таким образом, в качестве направляющего вектора касательной выбираем ненулевой (объясните, почему) вектор ).

Запишем уравнение касательной:

.

Так как , получаем: .

ОТВЕТ. .

ПОЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ

Пусть - либо эллипс, отличный от окружности, либо одна ветвь гиперболы, либо парабола. Пусть - фокус и директриса этой линии, причем если - эллипс, то - один из его фокусов, а - соответствующая директриса; если - одна ветвь гиперболы, то - фокус и директриса, которые расположены по ту же сторону от второй оси симметрии гиперболы, что и ветвь гиперболы.

Рассмотрим полярную систему координат , полюсом которой является фокус линии , а ( – ортогональная проекция точки на прямую ). Точка М принадлежит линии тогда и только тогда, когда

(уравнение линии в полярных координатах),

где – фокальный параметр линии .

Заметим, что для параболы значение параметра в каноническом уравнении то же, что в полярном уравнении .

ЗАДАЧА.

Найдите уравнение эллипса в полярной системе координат, полюс которой находится в одном из фокусов эллипса, а направление полярной оси совпадает с направлением оси абсцисс.

РЕШЕНИЕ.

Для эллипса , тогда . Вычислим : . Тогда уравнение данного эллипса в полярных координатах имеет вид: или .

ОТВЕТ. .

ЗАДАЧА.

Найдите каноническое уравнение линии второго порядка, зная её полярное уравнение: а) ; б)

РЕШЕНИЕ.

а) Уравнение перепишем так: или , откуда Тогда данное полярное уравнение определяет параболу , или .

б) Уравнение перепишем так: или , откуда Тогда данное полярное уравнение определяет ветвь гиперболы. Найдём каноническое уравнение этой гиперболы. Так как , то , откуда . Тогда . Уравнение гиперболы имеет вид: .

ОТВЕТ. а) ; б) .

Дата добавления: 2015-07-26