Линейная алгебра

Р А З Д Е Л VII

§1. Базис линейного пространства. Ранг матрицы. Однородные системы линейных уравнений

131. Исследовать систему векторов { } на линейную зависимость. В случае линейной зависимости данной системы найти линейную комбинацию ее векторов с ненулевыми коэффициентами, равную нулевому вектору (искомая линейная комбинация определена неоднозначно).

1)

2) , , , ,

3) ,

4) , , .

132. Проверить, что система векторов { } образует базис линейного пространства Найти координаты вектора x в этом базисе:

1) ,

2) ,

3) , ,

4) , , , , .

133. Найти ранг матрицы:

1) 2) 3) .

134. Найти ранг матрицы при различных значениях параметра :

1) 2) 3)

4)

134.1. При каком значении параметра данная матрица является вырожденной

1) , 2) , 3) ?

134.2. Чему равен ранг матрицы А, если:

1) А – квадратная матрица порядка n и ?

2) А – единичная матрица прядка n?

3) А – нулевая матрица ?

4) А – ненулевая квадратная матрица порядка 2 с нулевой строкой?

5) А – ненулевая квадратная матрица порядка 2 и ?

6) А – произвольная матрица и ?

134.3. Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:

1) как связаны ранги матриц А и ?

2) может ли ранг матрицы размера быть равным 4?

3) у какой матрицы ранг равен 0?

4) пусть А - квадратная матрица порядка 4 и rgA = 3. Чему тогда равен определитель матрицы А?

5) чему может быть равен ранг вырожденной квадратной матрицы порядка n?

134.4. Доказать теорему Кронекера-Капелли: система линейных уравнений имеет решение тогда и только тог-да, когда ранг матрицы А системы равен рангу расширенной матрицы системы, то есть (расширенная матрица получается из матрицы А приписыванием к ней столбца свободных членов В в качестве последнего столбца).

135. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и записать его с помощью фундаментальной системы решений (базиса пространства решений однородной системы линейных уравнений):

1) 2)

§ 2. Линейные преобразования. Квадратичные формы

Обозначения:

- линейное пространство свободных векторов в пространстве,

- линейное пространство строк длины n,

[ ] - столбец координат вектора .

136. Линейное преобразование задано формулой Найти матрицу преобразования в базисе { } и образ вектора при преобразовании , если:

1) 2) 3)

137. Линейное преобразование задано формулой , где - векторное произведение фиксированного вектора на произвольный вектор . Найти матрицу преобразования в базисе { } и образ вектора при преобразовании , если:

1) 2)

138. Найти матрицу А линейного преобразования в базисе { }, если преобразование задано формулой:

1) ,

Дата добавления: 2015-07-26