Метод Зейделя

Метод Зейделя является видоизмененным методом простой итерации, рассмотренным выше. Если при вычислении по методу простой итерации используются только приближенные значения предыдущего приближения, то при вычислении по методу Зейделя учитываются уже вычисленные значения .

Пусть система линейных уравнений записана в форме:

Путем тождественных преобразований системы (линейная комбинация уравнений, перестановка местами уравнений и неизвестных) получаем систему, в которой элементы главной диагонали матрицы коэффициентов при неизвестных являются преобладающими по модулю над остальными элементами соответствующих строк матрицы. Чтобы не делать лишних записей, будем считать, что в предыдущей системе это уже имеется. Тогда ее можно записать в форме

Если достаточное условие сходимости итерационного процесса выполнено, то он сходится быстрее, чем в случае простой итерации.

Пример. Методом Зейделя решить с точностью до 0,001 систему уравнений

Так как

= max {0,2 +0,1; 0,1 +0,3; 0,2 + 0,1} = 0,4 < 1,

то итерационный процесс сходится. Находим последовательные приближения искомого решения.

Так как тысячные доли стабилизировались, то

(0,99997; 1,99997; 1,99999. После округления получим, что (1; 2; 2) с точностью более чем 0,001. Подстановкой в исходную систему убеждаемся, что тройка чисел (1; 2; 2) является ее точным решением.

Тесты

1. Пусть система линейных уравнений имеет вид:

Х = ВХ + С и / .

То итерационный процесс сходится, если:

1) = 1; 2) < 1; 3) > 1; 4) < 2.

2. Обобщенное понятие расстояния между векторами X,Y определяется равенством:

1) / ; / ; 3) / ; 4) (.

Дата добавления: 2015-07-26