Метод простой итерации

Часть 4. Итерационные методы решения систем линейных уравнений

Пусть требуется решить систему линейных уравнений

и предположим, что определитель этой системы отличен от нуля. Тогда система имеет единственное решение. «Точное» решение в этом случае можно найти методами Гаусса, Крамера и т.д. Мы будем искать приближенное решение с заданной точностью итерационными методами. Для этого исходную систему приведем к виду

Будем строить приближения по формулам

Таким образом, для получения последующего приближения надо предыдущее приближение подставлять в правую часть системы.

Существует несколько достаточных признаков сходимости последовательности { } к искомому решению . Мы будем применять следующий признак сходимости, если

<1,

то последовательность { } сходится к решению системы, при этом выполняется неравенство

.

Здесь - малое положительное число; - норма, (обобщение понятия расстояния), определяемая равенством

, где , .

По формуле

/ / <

можно подсчитать, сколько итераций достаточно, чтобы заданная точность была достигнута.

Пример. Методом итерации решить систему уравнений

.

Решение. Проверим условие сходимости итерационного процесса.

= max {0,2 + 0,2 + 0,1; 0,3 + 0,2 + 0,2; 0,1 + 0,2+ +0,2} = 0,7 < 1.

Так как , то имеем сходящийся итерационный процесс. Выберем значение и подсчитаем достаточное число итераций (шагов) для обеспечения такой точности.

< 0,01, 0,7 < .

Неравенство выполняется при 17. Таким образом, для достижения заданной точности достаточно 17 шагов. Находим последовательно приближенные решения системы.

Х = (1,5; 0,4; 0,8),

Так как

{0,001098; 0,008535; 0,000477}= 0,008535<0,01,

то можно итерационный процесс закончить. Таким образом,

= (1,997828; 1,000435; 0,998503) – решение системы с точностью до 0,01. Округляя до трех знаков после запятой, окончательно получим (1,998; 1,000; 0,999).

Оказалось, что вместо 17 шагов хватило 5 шагов для получения решения с точностью до 0,01. Заметим, что точным решением исходной системы является тройка чисел (2; 1; 1).

Дата добавления: 2015-07-26