Метод Крамера

Часть 3. Системы линейных уравнений

Основные понятия теории систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Сначала приведем общие теоретические сведения из теории систем линейных уравнений. Элементарными преобразованиями системы уравнений считаются следующие преобразования: 1) умножение уравнения на любое число, отличное от нуля; 2) перестановка уравнений местами; 3) прибавление одного уравнения, умноженного на любое число, к другому уравнению.

Система линейных уравнений в общем виде записывается так:

где a_ij, b_i – известные числовые коэффициенты,

x₁, x₂,...,х_n – искомые величины.

–

матрица коэффициентов при искомых величинах;

B = –

матрица-столбец свободных коэффициентов;

X = –

матрица – столбец искомых неизвестных.

Определение. Набор значений искомых величин системы называется ее решением, если он удовлетворяет каждому уравнению системы, т.е. при подстановке этих значений в уравнения системы они превращаются в верные равенства. Если система имеет решение, то она называется совместной, если система не имеет решение, то она называется несовместной (противоречивой).

Определение. Две системы уравнений называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Очевидно, что при элементарных преобразованиях системы множество ее решений не меняется.

Приступая к решению системы, можно сначала узнать, совместна ли она, а можно решать ее, и в процессе решения найти противоречие, если оно имеется.

Теорема (Кронекера-Капелли). Система уравнений

тогда и только тогда совместна (имеет решение), когда ранг основной матрицы системы

равен рангу расширенной матрицы

.

Теорему эту примем без доказательства.

Пример. Исследовать систему уравнений

на совместность.

Решение. Ранг матрицы

равен двум, так как ее определитель равен нулю, и есть минор, например , отличный от нуля. Ранг расширенной матрицы

также равен двум, так как в ней всего две линейно независимые строки (первую строку можно получить сложением второй и третьей строк). Получили, что . По теореме Кронекера-Капелли система совместна, более того, она имеет бесчисленное множество решений, так как одной из неизвестных, например, можно задать любое значение.

Метод Крамера

Для сокращения записей будем рассматривать систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Пусть D = , D₁= , D₂= .

Умножим первое уравнение системы почленно на А₁₁, а второе на A₂₁ и сложим. Получим:

x₁ (а₁₁А₁₁ + а₂₁А₂₁) + x₂(a₁₂A₁₁+ + a₂₂A₂₁) ⁼ b₁A₁₁ ⁺ b₂A₂₁.

На основании соответствующих свойств определителей

а₁₁А₁₁ + а₂₁А₂₁ = D, а₁₂А₁₁ + a₂₂A₂₁ = 0

и так как

b₁А₁₁ + b₂А₂₁ = D ,

то имеем: х₁ ∙D= D .

Умножая первое уравнение системы на A₁₂, а второе на A₂₂ и, складывая их, получим, что х₂ D = D₂.

Если D 0, то

х₁ = , х₂ = .

Полученные формулы называются формулами Крамера. Они применяются, когда определитель системы .

Пример. Решить систему уравнений

Дата добавления: 2015-07-26