Ряд Фурье для функции любого периода

Напомним еще одно свойство периодических функций: если функция имеет период , то период функции , где , равен .

Отмеченное свойство позволяет решить вопрос о разложении в тригонометрический ряд функции, период которой отличен от . А именно, если функция имеет период и удовлетворяет на отрезке длиной условиям Дирихле, то ряд Фурье, построенный для этой функции, имеет вид:

, (7.9)

коэффициенты которого вычисляются по формулам:

(7.10)

В частном случае, если функция является четной с периодом , то ряд Фурье для такой функции получается в виде ряда по косинусам:

, (7.11)

коэффициенты которого равны:

. (7.12)

Если - нечетная функция с периодом , то она раскладывается в ряд Фурье по синусам:

, (7.13)

коэффициенты которого вычисляются по формулам:

. (7.14)

Пример 7.4. На отрезке функцию представить в виде ряда Фурье.

Р е ш е н и е. Так как длина отрезка, на котором требуется представить заданную функцию рядом Фурье, равна 4, то продолжим эту функцию на всю числовую ось с периодом , откуда . Подсчитаем коэффициенты ряда Фурье (7.9) по формулам (7.10), где в качестве пределов интегрирования взяты точки концов отрезка :

;

;

,

так как . Тогда разложение заданной функции на отрезке в ряд Фурье (7.9) примет вид:

.

Задание 7.4. Функцию разложить в ряд Фурье на отрезке .

Ответ: .

7.5. Интеграл Фурье

Рассмотрим, наконец, предельный случай, когда отрезок , на котором заданная функция раскладывается в ряд Фурье, неограниченно расширяется, то есть .

Имеет место следующее утверждение (интегральная теорема Фурье): если функция удовлетворяет условиям Дирихле на любом отрезке числовой оси и абсолютно интегрируема, то есть существует несобственный интеграл , то для этой функции справедливо представление

(7.15)

в любой точке ее непрерывности, а в точках разрыва этой функции имеет место

,

где и - предельные значения функции слева и справа от соответствующей точки разрыва.

Используя формулу для косинуса разности двух углов, равенство (7.15) приводится к виду:

, (7.16)

где

, . (7.17)

Интеграл, стоящий в правой части формулы (7.16), называется интегралом Фурье, а в правой части формулы (7.15) - двойным интегралом Фурье.

Если функция четна, то согласно (7.17) и свойству четной функции получим:

, , (7.18)

а интеграл Фурье для этой функции примет вид:

, (7.19)

если же функция нечетна, то

, , (7.20)

а сама функция будет представлена интегралом Фурье вида:

. (7.21)

По аналогии с рядом Фурье интеграл Фурье (7.16) следует рассматривать как разложение функции по гармоникам с непрерывно меняющейся от 0 до частотой .

Пример 7.5. Представить интегралом Фурье функцию

Р е ш е н и е. Заданная функция абсолютно интегрируема, удовлетворяет условиям Дирихле и является нечетной (рис. 7.5), поэтому она будет представлена интегралом Фурье (7.21), где

. (7.22)

Так как

;

,

то, подставив выражения найденных интегралов в (7.22), получим:

.

Таким образом, с помощью интеграла Фурье кусочно-заданная функция записывается в виде одного аналитического выражения:

.

Задание 7.5. Представить интегралом Фурье функцию

Ответ: .

7.6. Косинус и синус преобразования Фурье

Одно из применений интеграла Фурье связано с решением определенного класса интегральных уравнений.

Если функция является четной, то на основании (7.18) и (7.19) двойной интеграл Фурье для этой функции примет вид:

. (7.23)

Положив

, (7.24)

равенство (7.23) перепишем в виде:

. (7.25)

Функция называется косинус преобразованием Фурье функции , а функция - косинус преобразованием Фурье функции .

Если в (7.24) функцию считать заданной, а функцию искомой, то равенство (7.24) представляет собой так называемое интегральное уравнение относительно функции . Тогда выражение (7.25) определяет решение этого уравнения.

Аналогично, если использовать двойной интеграл Фурье для нечетной функции , то получим равенства:

, (7.26)

, (7.27)

которые называются синус преобразованием Фурье для функций и соответственно.

Пример 7.6. Решить интегральное уравнение

Р е ш е н и е. Умножив обе части заданного уравнения на , для (при правая часть уравнения остается равной нулю) перепишем это уравнение в виде:

,

то есть получим интегральное уравнение типа (7.24), в котором . Тогда, используя (7.25), найдем решение исходного уравнения:

.

Таким образом, решением исходного интегрального уравнения является функция .

Задание 7.6. Найти решение интегрального уравнения

.

Ответ: .

Дата добавления: 2015-07-26