Методические указания. Практические занятия 4,5

Практические занятия 4,5

Тема

«МЕТОДЫ МНОГОМЕРНОЙ БЕЗУСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИ» (4 час.)

Задача. Для заданной функции двух переменных:

1) найти точку минимума классическим методом мат. анализа;

2) построить две линии уровня, приняв значения ЦФ произвольно (больше );

3) построить вектор-градиент в заданных точках и ;

4) выполнить три-четыре итерации градиентного метода () из начальной точки спуска и графически изобразить траекторию спуска.

5) на одной итерации метода наискорейшего спуска из начальной точки спуска найти оптимальный шаг с погрешностью 0,001 и графически показать перемещение вдоль антиградиента с оптимальным шагом.

Градиент функции многих переменных в некоторой точке – это вектор, координатами которого являются частные производные функции в этой точке:

.(1)

В малой окрестности точки градиент указывает направление наискорейшего возрастания функции, а его норма характеризует скорость этого возрастания. Вектор-антиградиент указывает направление наискорейшего убывания функции.

В любой точке поверхности целевой функции вектор-антиградиент перпендикулярен касательной к линии уровня =const в этой точке.

Норма вектора-градиента

. (2)

В точке с координатами , где имеет место экстремум функции, вектор-градиент и все его компоненты обращаются в ноль .

Исходные данные к задаче

		(0; 0)	(5; –2)
		(5; 5)	(–2; –7)
		(–1; 1)	(5; 4)
		(2; 0,5)	(–4; –4)
		(1; 1)	(–5; –5)
		(1; –1)	(2; –4)
		(2; 2)	(–7; 3,5)
		(2; –2)	(–4; –4)
		(0; 5)	(2; –7)
		(0,5; 0,5)	(2; –4)
		(2; 2)	(–7; –8)
		(0; 0)	(3; 5)
		(1; 1)	(5; –5)
		(1; –1)	(–3; 4)
		(0; 0)	(–2; 5)
		(10; 10)	(5; –15)
		(1; 1)	(–4; –7)
		(3; –3)	(–5; 5)
		(–1; –1)	(0,2; –0,9)
		(2; 3)	(–1,7; 4,9)
		(1; 1)	(–5; 6,8)
		(0,5; 0,5)	(–3; –3)
		(0; 0)	(–2; 8,2)
		(1; 2)	(8,7; –1,1)
		(0; 0)	(–3; –4)

Методические указания

Градиент функции многих переменных в некоторой точке – это вектор, координатами которого являются частные производные функции в этой точке:

.(1)

В малой окрестности точки градиент указывает направление наискорейшего возрастания функции, а его норма характеризует скорость этого возрастания. Вектор-антиградиент указывает направление наискорейшего убывания функции.

В любой точке поверхности целевой функции вектор-антиградиент перпендикулярен касательной к линии уровня =const в этой точке (см. рис. 1).

Норма вектора-градиента

. (2)

В точке с координатами , где имеет место экстремум функции, вектор-градиент и все его компоненты обращаются в ноль .

Для функции двух переменных графическая иллюстрация перемещения из точки в точку вдоль градиента приведена на рис. 2.

Рис. 1. Графическое изображение градиента и антиградиента функции двух переменных в некоторой точке	Рис. 2. Перемещение вдоль градиента из точки в точку

Дата добавления: 2015-07-20