Линеаризация функции двух и трех переменных. Использование полного дифференциала в приближенных вычислениях.

Сведения из теории

Из теории функций двух переменных известно, что, если функция имеет в точке непрерывные частные производные и , то ее приращение , порожденное приращениями переменных и , представимо в виде .

Символ означает, что, если и стремятся к нулю, то слагаемое стремится к нулю еще быстрее. Если это слагаемое отбросить, то получится приближенное равенство

.

Выражение, которое осталось справа, называется полным дифференциалом функции двух переменных . Обозначение . Если символы и заменить символами и , называемые дифференциалами и , то полный дифференциал примет вид .

Из определения полного дифференциала следует, что для любой фиксированной точки разница между точным приращением функции , порожденным приращениями и , и дифференциалом , вычисленным в точке , есть величина бесконечно малая, т.е. . Отсюда следует цепочка приближенных равенств:

Þ

Если обозначить , , соответственно , , то приближенная формула примет вид

.

Поясним смысл этой формулы: исходная функция с произвольной формулой в окрестности точки заменяется на линейную функцию двух переменных вида . Главное достоинство последней функции - простота вычисления. Для этой замены есть название
- линеаризация функции.

Геометрически линеаризация функции двух переменных означает замену ординаты поверхности, являющейся графиком функции , на ординату касательной плоскости, проведенной к графику функции, в точке .

Для функции трех переменных полный дифференциал имеет вид . Линеаризация функции трех переменных в окрестности точки
задается следующим приближенным равенством

.

Рассмотрим на примере, как линеаризация функции используется для приближенного вычисления значений функции при «неудобных» значениях переменных.

Пример. Вычислить приближённо с помощью полного дифференциала значение выражения .

Решение. Прежде всего, нужно ввести функцию, частным значением которой является искомое выражение. В данном примере это будет функция трех переменных . Искомое выражение является ее значением при . Далее нужно подобрать значения , , такие, чтобы они, во-первых, были близки к , , и, во-вторых, значение функции вычислялось легко. Таковыми являются , , .
Легко вычислить . Линеаризацию функции нужно проводить в окрестности точки . Для этого вычислим значения частных производных в точке .

;

;

Формула линеаризации функции имеет вид:

.

Тогда .

Ответ. .

Дата добавления: 2015-07-24