Линейное приближение экспериментальных данных

Экспериментально получены пять значений функции при пяти значениях аргумента , которые представлены в данной таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию , описывающую приближенно (аппроксимирующую) эксперимен­тальные данные. Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоу­гольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции .

Решение. Из условия задачи имеем:

- это значения переменной , полученные экспериментально.

-это значения переменной , рассчитанные теоретически по формуле . Вычислим разность между экспериментальными и теоретическими значениями переменной , т.е. . Эта разность может быть как положительной, так и отрицательной. Мы будем рассматривать эту разность в квадрате, т.е. . Просуммируем эти квадраты разностей по всем : . Наилучшими значениями параметров и будем считать те, при которых сумма принимает минимальное значение.

Таким образом, получаем классическую задачу: найти точку минимума функции двух переменных . По теории минимум функция может принимать только в тех точках, в которых частные производные и . Вычисления приведут к системе

Учитывая, что неизвестными в этих уравнениях являются параметры и , преобразуем систему к шаблонному виду, удобному для использования формул Крамера.

Тогда: ; .

Значения сумм приведены в таблице

i	xi	yi	xi^ 2	xi yi
		4,3		4,3
		5,3		10,6
		3,8		11,4
		1,8		7,2
		2,3		11,5
Сумма		17,5

Вычислим:

;

Линейная функция , описывающая приближенно эксперимен­тальные данные, имеет вид . Ее график, а также экспериментальные значения изображены на рис. 2.

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ «ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

Задача № 1.Установить, удовлетворяет ли данная функция данному дифференциальному уравнению в частных производных
1.	;	8.	;
2.	;	9.	;
3.	;	10.	;
4.	;	11.	;
5.		12.	;
6.		13.
7.		14.	;

Задача № 2Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке
1.	;	8.	;
2.	;	9.	;
3.	;	10.	;
4.	;	11.	;
5.	;	12.	;
6.	;	13.	;
7.	;	14.	;

Задача № 3Найти область определения функции
1.		8.
2.		9.
3.		10.
4.		11.
5.		12.
6.		13.
7.		14.

Задача № 4Исследовать на экстремум функцию
1.		8.
2.		9.
3.		10.
4.		11.
5.		12.
6.		13.
7.		14.
Задача № 5Найти производную данной функции в данной точке в направлении заданного вектора
1.	;	8.	;
2.	;	9.	;
3.	;	10.	в направлении вектора , где точка .
4.	;	11.	;
5.	;	12.	;
6.	;	13.	;
7.	;	14.	;

Задача № 6Вычислить приближённо с помощью полного дифференциала значение выражения
1.		8.
2.		9.
3.		10.
4.		11.
5.		12.	при
6.		13.	при
7.		14.	при

Задача № 7Найти наименьшее и наибольшее значения функции на замкнутой области :
1.	;	8.	;
2.	;	9.	;
3.	;	10.	;
4.	;	11.	;
5.		12.	;
6.		13.	;
7.	;	14.	;

Список литературы

1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для студентов втузов: в 2 т./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш. школа, 1980. – Т.1. – 320 с.

2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учеб. пособие для инжер.-техн. специальностей вузов: в 3 ч. / под общ. ред. А.П. Рябушко. Ч. 2. – Минск: Академ. книга, 2006. – 351 с.: ил.

31.

Содержание

Введение............................................................................................................... 3

§1. Функции двух и трех переменных................................................................ 3

1.1 Частные производные функции двух и трех переменных................... 3

§2. Приложения частных производных............................................................... 8

2.1. Производная по направлению функции двух и трех переменных..... 8

2.2. Полный дифференциал функции двух и трех переменных.

Линеаризация функции двух и трех переменных. Использование
полного дифференциала в приближенных вычислениях................... 11

2.3. Экстремумы функции двух переменных............................................ 14

2.4. Условный экстремум функции двух переменных............................... 15

2.5. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
на замкнутой области......................................................................... 15

§3. Линейное приближение экспериментальных данных.................................. 18

Задачи для контрольной работы «Функции двух и трех переменных»........... 20

Литература.......................................................................................................... 24

Дата добавления: 2015-07-24