У линейного преобразования могут отсутствовать собственные векторы

(пример - вращающиеся плоскости).

Пусть теперь матрица А - симметрическая. С ней можно связать квадратную форму

где x - p-мерный вектор-столбец.

Симметрическая матрица А называется положительно определенной, если для любых x¹0

Симметрическая матрица называется неотрицательно определенной,

если "Р:

1.

Все собственные числа симметрической матрицы А - вещественные и соответствующие

им вектора могут быть взяты вещественными:

2. Все собственные числа положительно определенной матрицы А положительны.

Все собственные числа неотрицательно определенной матрицы А неотрицательны.

Следовательно, характеристические числа положительно определенной матрицы

неотрицательно определенной-

и каждому из них соответствует собственный вектор.

1.

Собственные векторы b_i и b_j, соответствующие различным собственным числам, ортогональны.

В случае кратных корней размерность пространства решений уравнения (2.10) при l=l⁽⁰⁾,

где l⁽⁰⁾ -корень уравнения (2.11) кратности 2, равно 2.

Все сформулированные и доказанные выше предложения относительно собственных векторов и собственных чисел симметрической матрицы (симметрическое преобразование евклидового пространства) можно получить как следствие двух утверждений.

Утверждение 1: Линейное преобразование j евклидового пространства E_n тогда и только тогда будет симметрическим, если в нём существует ортонормированная база, составленная из собственных векторов этого преобразования.

Утверждение 2: Симметрическое линейное преобразование Е_n в любом ортонормированном

базисе задается симметрической матрицей. И обратно, если линейное преобразование в некотором базисе задается симметрической матрицей, то оно является симметрическим.

Вернемся к рассмотрению уравнения (2.11).

Матрица ковариаций å, как и всякая матрица ковариаций, является неотрицательно определенной.

Действительно, поскольку согласно договоренности

для любого вектора

Следовательно, собственные значения (характеристические числа) матрицы å

неотрицательны. Расположим их в порядке убывания

(2.12)

Умножив (2.10) слева на l₁ и учитывая, что

Получим

или после преобразований

Отсюда и из (2.6) следует

В соответствии с определением 1 и соотношением (2.5) для обеспечения максимальной

величины дисперсии нужно выбрать из собственных значений (2.12) матрицы å наибольшее

Подставляя l₁ в систему (2.10) и решая ее относительно

мы определим компоненты вектора

Таким образом первая главная компонента получается как линейная комбинация , где - собственный вектор матрицы ковариаций å, соответствующий наибольшему собственному значению этой матрицы l₁.

В соответствии с определением 2, k-я (k³2) главная компонента определяется как норм.

линейная комбинация исходных признаков, имеющая max дисперсию и некоррелированная с предшествующей главной компонентой , где - как можно показать по аналогии с предыдущим собственный вектор матрицы å, соответствующий k-му по порядку убывания собственному значению (см. также замечание о кратности корней). При этом .

Таким образом,

(2.13)

Таким образом, вектор главных компонент , где

получается по указанному выше алгоритму в виде произведения ,где строки

матрицы (размерности (р¹´р)) ортонормированные р^*-мерные вектора, являющиеся собственными векторами матрицы å, соответствующими собственным значениям этой матрицы, расположенным в порядке убывания.

При р¹=р матрица (размерности р´р) будет ортогональной матрицей и Пу.

---

Дата добавления: 2015-07-24