Основные числовые характеристики главных компонент и критерий информативности метода главных компонент

Пусть вектор главных компонент, полученных в соответствии с указанным выше алгоритмом. Рассмотрим его числовые характеристики.

(a) (компоненты исходного вектора признаков центрированы).

(b) ковариационная матрица

, где

å- ковариационная матрица вектора x.

Умножая соотношение (2.13) слева на , j=1,…,p, получим:

, (2.14)

поскольку при j=k отсюда снова следует взаимная некоррелированность главных компонент.

(c) сумма дисперсий исходных признаков равна сумме дисперсий главных

всех р компонент, т.е. сумме всех р собственных значений ковариационной

матрицы å.

В силу (2.14)

Здесь использовано свойство (в силу ортогональности), ; tr(AB)=tr(BA)

.

(d) обобщенная дисперсия исходных признаков ½å½ равна дисперсии р главных

компонент ½L½=½ ½.

Действительно, из (2.14) имеем ½ ½=½ ½=½ ½½å½½ ½=½å½.

Следствие 1: Из (b) и (c) следует, что критерий информативности метода главных компонент

может быть построен с использованием следующей формулы

, (2.15)

где - матрица с р¹ ортонормированной строкой.

Действительно, если , то в силу изложенного выше

(2.16)

по всем (2.16¹)

из (2.15) и (2.16) следует (2.16¹)

- множество матриц (р¹´р) с ортонормированными строками.

Соотношение (2.16) дает исследователю основу при выяснении вопроса, сколько последних главных компонент можно без особого ущерба изъять из рассмотрения, сократив тем самым размерность исследуемых признаков.

Замечание 1: В дальнейшем знак ~ в обозначении вектора главной компоненты

матрицы будем опускать.

Замечание 2: Поскольку на практике точное знание ковариационной матрицы å является

скорее исключением, чем правилом, то в тех случаях, когда å неизвестна, все

предыдущие рассуждения и выкладки следует использовать приближенно к выбранной

матрице å^Ù.

Дата добавления: 2015-07-24