Теоретичні відомості. Метод квадратних коренів застосовується для розв’язування систем лінійних рівнянь з

Метод квадратних коренів застосовується для розв’язування систем лінійних рівнянь з симетричною матрицею . Матриця подається у вигляді

,

(1)

де – верхня трикутна матриця; – транспонована до неї; – діагональна матриця з елементами .

, де .

Рівність (1) утворює систему рівнянь, з якої визначаються елементи матриць і .

, при .

Рівняння при відкидається, оскільки рівняння відповідних параметрів , еквівалентні. Отримаємо рекурентні формули для визначення елементів , .

; .

Також визначимо формулу для :

при ; при .

З цих формул видно, що матриця є верхньою трикутною матрицею. Таким чином після подання у вигляді (1) розв’язання початкової системи

(2)

зводиться до послідовного розв’язання двох систем із трикутними матрицями.

У випадку, коли , про симетричну матрицю A кажуть, що вона додатньо визначена. Матриця називається додатньо визначеною, якщо всі її головні мінори додатні (всі ). Тоді . У цьому випадку розв’язання системи (2) зводиться до розв’язання системи .

Це прямий хід методу квадратних коренів.

Покладемо . Отримаємо, що рівняння системи (2) еквівалентні розв’язанню двох рівнянь з трикутними матрицями

Елементи , () знаходяться за формулами

, , ().

Обчислення здійснюється подібно оберненому ходу у схемі Гауса за формулами

, , ().

Нехай дано систему (2), де - симетрична матриця. Тоді можна подати у вигляді двох транспонованих між собою трикутних матриць.

,

(3)

де

,

Перемножуючи матриці і для визначення елементів і одержимо такі рівняння:

Звідси послідовно знаходимо

При наявності рівності (3) рівняння (2) еквівалентне двом рівнянням

У розкритому вигляді дані рівняння можна записати так

	(5)
	(6)

З формул (5) і (6) послідовно знаходимо

, , ;	(7)
; , .	(8)

При практичному застосуванні методу квадратних коренів прямим ходом за формулами (4) і (7) послідовно обчислюються коефіцієнти , , (), а потім зворотнім ходом за формулою (7) знаходяться невідомі ().

Дата добавления: 2015-07-24