Гармонический осциллятор.

Линейным одномерным гармоническим осциллятором называют частицу массы , совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы .

Для такой частицы можно записать уравнение . Собственная частота классического гармонического осциллятора , откуда . Тогда потенциальная энергия осциллятора будет

.

(Эта функция изображена на рис.13а.)

Рассмотрение той же колебательной системы методами квантовой механики сводится к решению соответствующего уравнения Шредингера. Специфика задачи определяется заданием функции потенциальной энергии , которая при квантово-механическом подходе является исходной и основной величиной, характеризующей систему.

Итак, уравнение Шредингера для стационарных состояний частицы в параболической потенциальной яме

.

Преобразуем это уравнение следующим образом

;

.

Введем обозначения: и .

Тогда

.

Решение этого уравнения должно удовлетворять следующим требованиям:

1) симметрична относительно начала координат, следовательно, должно быть тоже симметрична по отношению к началу координат ( - симметрична или асимметрично);

2) при .

Предположим, что - решение уравнения Шредингнра.

Тогда

и .

Подставляя решение в уравнение Шредингера, получим

или

.

Отсюда следует, что искомая функция будет решением при . Тогда

.

Следовательно,

.

Состояние с энергией - это основное квантовое состояние осциллятора.

По предположению Планка квантовый осциллятор имеет энергию . В отличие от теории Планка, рассмотренный осциллятор имеет . Существование минимальной энергии такого осциллятора подтверждается экспериментально: колебания атомов в кристаллической решетке (т.е. гармонических осцилляторов) не прекращается и при . Кроме того, частица не может локализоваться на дне параболической потенциальной ямы (это следует из соотношения неопределенностей). Следовательно, возможные значения полной энергии гармонического осциллятора

или , .

Из этого выражения видно, что энергетический спектр квантового гармонического осциллятора является дискретным, а уровни энергии - эквидистантны (т.е. соседние уровни при любом отстоят друг от друга на одну и ту же величину ).

При переходе квантово-механического осциллятора из одного состояния в другое его энергия изменяется на величину . Взаимодействие квантового осциллятора с фотоном (излучение или поглощение света) приводит к изменению вида функции: превращает симметричную функцию в антисимметричную, и наоборот. Это приводит к необходимости правила отбора . Поэтому при оптическом возбуждении квантово-механический осциллятор способен поглотить лишь и осуществить при этом переход только на соседний уровень.

Из условия нормировки , тогда .

Т.к. функция симметрична относительно начала координат, то

.

Откуда

или .

Таким образом

.

Если известен вид функции , то можно найти все другие величины. Среднее значение координаты:

.

Среднее значение проекции импульса .

.

В квазиклассическом приближении

.

Отсюда следует, что средние значения потенциальной и кинетической энергий осциллятора равны:

;

.

Значениям энергии соответствуют собственные функции . Все функции должны быть симметричны относительно начала координат (рис.13б). Функции - либо симметричны, либо антисимметричны. При . Если все эти функции стремятся к нулю на бесконечности, то они должны содержать множитель (). Решение уравнения Шредингера для произвольных имеет вид:

,

где - это полином Чебышева-Эрмита, степень которого возрастает с увеличением ; - это нормировочный множитель

.

Следовательно,

.

Конкретный вид полиномов:

; ; и т.д.

Вид функций представлен на рис.13а.

Остановимся на некоторых особенностях классических и квантовых осцилляторов.

1. Итак, разрешенные значения для квантово-механического осциллятора представляют собой набор эквидиситантных энергетических уровней, а собственные - функции – набор стоячих волн, заключенных в потенциальной яме параболической формы.

Для классического осциллятора границы этой ямы определяют границы пространства, в котором может быть локализована частица (рис.13а,б). Расстояние по оси от до удвоенная амплитуда колебаний классического осциллятора при .

График - функции, являющейся решением уравнения Шредингера, выходит за рамки ограничивающей кривой . Такое поведение - функции связано с тем, что она должна быть непрерывной и гладкой везде, в том числе и в точках поворота, и при этом должно выполняться соотношение неопределенности.

2. Вероятность локализации классического осциллятора в окрестностях точки с координатой в потенциальной яме является наибольшей в точках поворота (где скорость ), т.е. на стенках параболы. Для квантово-механического осциллятора имеет конечное значение и на границах ямы и на некотором расстоянии от нее. Следовательно, существует конечная вероятность локализации частицы вне пределов ямы. Наибольшая вероятность локализации частицы - в точках, соответствующих «пучностям» - функций.

Для больших функция имеет распределение, близкое к классическому (рис.13б). В этом проявляется принцип соответствия.

Дата добавления: 2015-07-24