Гармонический анализ

ЗАДАНИЕ N 27 сообщить об ошибке
Тема: Периодические функции

Начало формы

Конец формы

Период функции равен …

ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Тема: Элементы гармонического анализа

Начало формы

Конец формы

Функцией, ортогональной к функции на , является …

Решение:
Функции и называются ортогональными на [a, b], если . Функция на является нечетной, поэтому функция в данной задаче должна быть четной, так как тогда произведение будет нечетной функцией, а интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу равен нулю.
Проверим функции на четность:
– функция общего вида;
– нечетная функция;
– нечетная функция;
– четная функция.
Тогда функцией, ортогональной к функции на , может служить функция .

ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке
Тема: Ряд Фурье. Теорема Дирихле

Начало формы

Конец формы

Коэффициент в разложении -периодической функции , равен …

ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Гармонические колебания

Начало формы

Конец формы

Модуль ускорения точки, совершающей гармонические колебания, с амплитудой , угловой частотой , и начальной фазой , в момент времени равен …

ЗАДАНИЕ N 13 сообщить об ошибке
Тема: Периодические функции

Начало формы

Конец формы

Наименьший положительный период функции равен …

ЗАДАНИЕ N 14 сообщить об ошибке
Тема: Гармонические колебания

Начало формы

Конец формы

Угловая частота гармонических колебаний равна , начальная фаза рад, а смещение колеблющейся точки от нулевого положения через 2 секунды равно 0,1. Тогда амплитуда гармонических колебаний составляет …

ЗАДАНИЕ N 15 сообщить об ошибке
Тема: Ряд Фурье. Теорема Дирихле

Начало формы

Конец формы

Коэффициент в разложении в ряд Фурье функции на интервале равен …

Решение:
Коэффициент . Тогда:
.

ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Элементы гармонического анализа

Начало формы

Конец формы

Разложение функции на гармоники имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 41 сообщить об ошибке
Тема: Гармонические колебания

Начало формы

Конец формы

Угловая частота гармонических колебаний равна , начальная фаза рад, а смещение колеблющейся точки от нулевого положения через 2 секунды равно 0,1. Тогда амплитуда гармонических колебаний составляет …

Решение:
Уравнение гармонических колебаний имеет вид: . Следовательно, , или

ЗАДАНИЕ N 42 сообщить об ошибке
Тема: Ряд Фурье. Теорема Дирихле

Начало формы

Конец формы

Коэффициент в разложении в ряд Фурье функции на интервале равен …

Решение:
Коэффициент . Тогда .

ЗАДАНИЕ N 43 сообщить об ошибке
Тема: Элементы гармонического анализа

Начало формы

Конец формы

Функцией, ортогональной к функции на , является …

ЗАДАНИЕ N 44 сообщить об ошибке
Тема: Периодические функции

Начало формы

Конец формы

Период функции равен …

ЗАДАНИЕ N 22 сообщить об ошибке
Тема: Элементы гармонического анализа

Начало формы

Конец формы

Функцией, ортогональной к функции на , является …

ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке
Тема: Ряд Фурье. Теорема Дирихле

Начало формы

Конец формы

Коэффициент в разложении в ряд Фурье функции в ряд косинусов на отрезке равен …

ЗАДАНИЕ N 24 сообщить об ошибке
Тема: Периодические функции

Начало формы

Конец формы

Период функции равен …

ЗАДАНИЕ N 25 сообщить об ошибке
Тема: Гармонические колебания

Начало формы

Конец формы

Угловая частота гармонических колебаний равна , начальная фаза рад, а смещение колеблющейся точки от нулевого положения через 2 секунды равно 0,1. Тогда амплитуда гармонических колебаний составляет …

Решение:
Уравнение гармонических колебаний имеет вид: . Следовательно, , или

ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке
Тема: Элементы гармонического анализа

Начало формы

Конец формы

Функцией, ортогональной к функции на [-1; 1], является …

Решение:
Функции и называются ортогональными на [a, b], если . Поэтому функция в данной задаче должна быть четной, так как тогда произведение будет нечетной функцией. Интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу равен нулю. Тогда в качестве искомой функции можно, например, использовать функцию .

ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке
Тема: Ряд Фурье. Теорема Дирихле

Начало формы

Конец формы

Коэффициент в разложении в ряд Фурье функции в ряд косинусов на отрезке равен …

Решение:
Воспользуемся формулой: .
Тогда .

ЗАДАНИЕ N 13 сообщить об ошибке
Тема: Гармонические колебания

Начало формы

Конец формы

Если амплитуда гармонических колебаний равна и за 2 минуты совершается 240 колебаний, а начальная фаза колебаний равна рад, то уравнение гармонических колебаний имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 14 сообщить об ошибке
Тема: Периодические функции

Начало формы

Конец формы

Основной период функции равен …

ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Тема: Гармонические колебания

Начало формы

Конец формы

Угловая частота гармонических колебаний равна , начальная фаза рад, а смещение колеблющейся точки от нулевого положения через 2 секунды равно 0,1. Тогда амплитуда гармонических колебаний составляет …

Решение:
Уравнение гармонических колебаний имеет вид: . Следовательно, , или

ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке
Тема: Элементы гармонического анализа

Начало формы

Конец формы

Разложение функции на гармоники имеет вид …

Решение:
Разложить периодическую функцию на гармоники – значит представить ее в виде:

Следовательно,

ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Ряд Фурье. Теорема Дирихле

Начало формы

Конец формы

Коэффициент в разложении в ряд Фурье функции на интервале равен …

ЗАДАНИЕ N 31 сообщить об ошибке
Тема: Периодические функции

Начало формы

Конец формы

Основной период функции равен …

Решение:
Период функции имеет период ; функция имеет период, равный ; а период функции равен .
Для того, чтобы найти общий период функции , представим периоды
, и в другом виде, а именно, коэффициенты при в полученных периодах приведем к общему знаменателю. Тогда получим: , и . Найдем наименьшее общее кратное числителей этих коэффициентов 6, 4 и 15. Оно равно 60. Следовательно, число будет основным периодом исходной функции.

ЗАДАНИЕ N 9 сообщить об ошибке
Тема: Элементы гармонического анализа

Начало формы

Конец формы

Функцией, ортогональной к функции на , является …

Решение:
Функции и называются ортогональными на [a, b], если . Функция на является нечетной, поэтому функция в данной задаче должна быть четной, так как тогда произведение будет нечетной функцией, а интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу равен нулю.
Проверим функции на четность:
– функция общего вида;
– нечетная функция;
– нечетная функция;
– четная функция.
Тогда функцией, ортогональной к функции на , может служить функция .

ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке
Тема: Периодические функции

Начало формы

Конец формы

Наименьший положительный период функции равен …

Решение:
Представим функцию в виде . Период данной функции совпадает с периодом функции и равен

ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке
Тема: Гармонические колебания

Начало формы

Конец формы

Точка совершает гармонические колебания вдоль оси по закону: . Тогда начальная фаза колебаний равна …

Решение:
Запишем уравнение в виде и сравним его с уравнением гармонического колебания в общем виде: . Тогда .

ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке
Тема: Ряд Фурье. Теорема Дирихле

Начало формы

Конец формы

Коэффициент в разложении -периодической функции , равен …

Решение:
Так как функция не является ни четной, ни нечетной, то вычислим ее коэффициент Фурье по формуле: . Тогда
.

ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке
Тема: Ряд Фурье. Теорема Дирихле

Начало формы

Конец формы

Коэффициент в разложении в ряд Фурье функции на интервале равен …

ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке
Тема: Периодические функции

Начало формы

Конец формы

Основной период функции равен …

ЗАДАНИЕ N 7 сообщить об ошибке
Тема: Элементы гармонического анализа

Начало формы

Конец формы

Функцией, ортогональной к функции на [-1; 1], является …

ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке
Тема: Гармонические колебания

Начало формы

Конец формы

Модуль ускорения точки, совершающей гармонические колебания, с амплитудой , угловой частотой , и начальной фазой , в момент времени равен …

Решение:
Так как уравнение гармонического колебания имеет вид , то ускорение движения точки найдем, вычислив вторую производную: Тогда значение модуля ускорения равно

ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Элементы гармонического анализа

Начало формы

Конец формы

Функцией, ортогональной к функции на , является …

Решение:
Функции и называются ортогональными на [a, b], если . Функция на является нечетной, поэтому функция в данной задаче должна быть четной, так как тогда произведение будет нечетной функцией, а интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу равен нулю.
Проверим функции на четность:
– функция общего вида;
– нечетная функция;
– нечетная функция;
– четная функция.
Тогда функцией, ортогональной к функции на , может служить функция .

ЗАДАНИЕ N 31 сообщить об ошибке
Тема: Периодические функции

Начало формы

Конец формы

Период функции равен …

Решение:
Период функции равен ; период функции равен . Наименьшее число T, при делении которого на и на получаются целые числа, есть число , которое и будет периодом исходной функции.

ЗАДАНИЕ N 32 сообщить об ошибке
Тема: Гармонические колебания

Начало формы

Конец формы

Амплитуда гармонических колебаний равна , период равен 4 и начальная фаза равна . Тогда смещение колеблющейся точки от нулевого положения при равно …

Решение:
Уравнение колебаний записывается в виде . По условию известен период колебаний. Через него можно выразить частоту . Тогда уравнение колебаний примет вид . Следовательно, смещение при будет равно .

ЗАДАНИЕ N 33 сообщить об ошибке
Тема: Ряд Фурье. Теорема Дирихле

Начало формы

Конец формы

Разложение в ряд Фурье на промежутке существует для функции…

ЗАДАНИЕ N 41 сообщить об ошибке
Тема: Элементы гармонического анализа

Начало формы

Конец формы

Функцией, ортогональной к функции на [-1; 1], является …

Решение:
Функции и называются ортогональными на [a, b], если . Поэтому функция в данной задаче должна быть четной, так как тогда произведение будет нечетной функцией. Интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу равен нулю. Тогда в качестве искомой функции можно, например, использовать функцию .

ЗАДАНИЕ N 42 сообщить об ошибке
Тема: Периодические функции

Начало формы

Конец формы

Наименьший положительный период функции равен …

Решение:
Основной период функции равен , основной период функции равен . Тогда наименьший положительный период должен удовлетворять условию , то есть , или . А это условие выполнятся при минимальных и то есть .

ЗАДАНИЕ N 43 сообщить об ошибке
Тема: Гармонические колебания

Начало формы

Конец формы

Точка совершает гармонические колебания вдоль оси по закону . Тогда период колебаний равен …

ЗАДАНИЕ N 44 сообщить об ошибке
Тема: Ряд Фурье. Теорема Дирихле

Начало формы

Конец формы

Коэффициент в разложении в ряд Фурье функции на интервале равен …

Решение:
Коэффициент . Тогда .

ЗАДАНИЕ N 41 сообщить об ошибке
Тема: Элементы гармонического анализа

Начало формы

Конец формы

Функцией, ортогональной к функции на [-1; 1], является …

Дата добавления: 2015-07-24