Методом крутильного баллистического маятника

Работа 16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЁТА ПУЛИ

Задание: определить момент инерции крутильного баллистического маятника и скорость полёта пули с предельной относительной погрешностью e, не превышающей 5 %.

Оборудование и принадлежности: установка для проведения измерений, линейка, весы.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Рис. 1

Основным элементом установки является крутильный маятник (рис. 1). Он представляет собой горизонтальный стержень, закрепленный на вертикальной проволоке 13, натянутой между верхним 4 и нижним 5 кронштейнами установки (рис. 2).Вдоль стержня могут передвигаться два цилиндра 11 массой m = 194 г каждый. Винты “ а ” служат для закрепления цилиндров в определенном положении. На концах стержня закреплены пластины 10, покрытые с одной стороны пластилином. На конце пластины имеется черта, по которой определяется угол отклонения маятника от положения равновесия. На пластинах имеются деления, показывающие расстояние от оси подвеса маятника. На стержне нанесены поперечные штрихи на расстоянии 1 см друг от друга. Первый на расстоянии 30 мм от оси маятника.

К среднему кронштейну 6 прикреплено стреляющее устройство 7, а также прозрачный экран с нанесенной на нём угловой шкалой 8 и фотоэлектрический датчик 9 числа колебаний маятника. Число колебаний высвечивается на левом индикаторе. Индикатор, который расположен справа на основании, показывает время всех колебаний. На основании маятника имеются три клавиши: “сеть”, “стоп” и “сброс”, которые служат соответственно для включения прибора, прекращения счёта и повторного включения в работу.

Рис. 2

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Общие сведения. Горизонтальный стержень, подвешенный на упругой проволочке, представляет собой крутильный маятник. Его колебания подчиняются основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела:

(1)

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения; – вектор углового ускорения маятника; – векторная сумма моментов (относительно той же оси) всех сил, действующих на маятник. Если силами сопротивления можно пренебречь, то из суммы останется только момент упругих сил, который при малых амплитудах колебаний определяется соотношением:

(2)

где G – модуль сдвига материала проволоки, L – длина проволоки, R – её радиус, – вектор углового перемещения маятника (j – угол закручивания проволоки), D – модуль кручения. Соотношение (2) выражает закон Гука для деформации кручения. Знак “-” означает, что вектор момента упругих сил, возникающих в проволоке, направлен противоположно вектору углового перемещения .

Учитывая, что , уравнение (1) можно записать в виде:

(3)

Уравнение (3) представляет собой уравнение гармонических колебаний переменной , квадрат циклической частоты которых равен коэффициенту перед . То есть, циклическая частота колебаний крутильного маятника равна:

(4)

Период колебаний

(5)

Из (5) получаем:

(6)

Теория метода. Для определения момента инерции маятника по формуле (6) необходимо знать численное значение модуля кручения проволоки. Его можно выразить через модуль сдвига (см. формулу (2) и Приложение 1). Модуль сдвига можно также найти экспериментально, измерив T для двух разных значений I. Для этого на штанге маятника помещаются два подвижных цилиндра. Тогда

(7)

где I_м – момент инерции маятника, I_ц – момент инерции цилиндра относительно оси вращения, который равен (см. Приложение 2)

(8)

где R₁ и R₂ – внутренний и внешний радиусы цилиндра, h – его длина, d – расстояние от оси вращения до центра масс цилиндра, m - его масса.

Из (7) и (8) момент инерции маятника с цилиндрами

(9)

где

(10)

Приравняв правые части (6) и (9), получим:

(11)

Формула (11) даёт связь между периодом колебаний маятника и расстоянием цилиндров до оси вращения. Для двух положений (расстояний) цилиндров d₁ и d₂ получим:

(12)

(13)

Вычитая из формулы (13) формулу (12), находим D:

(14)

Для определения скорости полёта пули используется абсолютно неупругий ее удар с крутильным маятником. Пуля выстреливается в маятник и, застревая в нём, вызывает его поворот. Время t соударения пули с маятником незначительно по сравнению с периодом колебаний (t «T). Поэтому отклонения маятника от положения равновесия за время соударения мало. Тогда моментом внешних сил можно пренебречь. Из закона сохранения момента импульса системы маятник–пуля получаем:

m_пvr = I_cw, (15)

где m_п – масса пули, v – ее скорость, r – расстояние от центра попадания пули до оси вращения, w – угловая скорость вращения маятника после удара, I_c – момент инерции системы.

Момент инерции пули относительно оси вращения много меньше момента инерции маятника с цилиндрами, m_пvr«I, поэтому

I_c » I. (16)

Угловую скорость вращения маятника после удара можно определить из закона сохранения энергии

(17)

где – максимальный угол закручивания проволоки маятника.

Подставив w из (15) в (17) с учётом (6) найдём, что

(18)

Подставив (9) в (6) найдём, что

(19)

Обозначив:

(20)

получим:

(21)

Измерив период колебаний маятника для разных положений грузов, можно определить a и b методом наименьших квадратов (см. Приложение 3). Тогда, согласно (20),

(22)

Подставив w из (17) в (15) с учётом (22) и (9) найдём, что

(23)

Дата добавления: 2015-07-24