Задача Коши

Для выделения из общего решения УЧП I степени частного решения необходимо иметь начальное условие, которое задается на гиперповерхности – поверхности, размерность которой на единицу меньше размерности исходного уравнения. Таким образом, начальное условие будет задаваться в виде:

(5)

где - обозначает гиперповерхность. Так, для уравнения гиперповерхность будет являться линией, например .

Условие (5) вместе с уравнением (1) образует задачу Коши. Доказано, что эта задача имеет однозначное решение в некоторой окрестности точки , если гиперповерхность не касается кривых характеристик (т.е. пересекает характеристики не под нулевым углом). Для нахождения частного решения (т.е. для определения функции из (4)) в этом случае достаточно подставить общее решение в условие (5).

(пример №3) решить задачу Коши для уравнения с начальным условием ().

Рис 4. Семейство характеристик и гиперповерхность

На рисунке 4 представлено семейство характеристик данного уравнения (см пример №2) и гиперповерхность . Так как гиперповерхность не касается характеристик, то можно найти частное решение УЧП. Для этого общее решение данного уравнения подставляем в начальные условия:

,

отсюда - искомое частное решение.

Рис 5. Поверхность функции и гиперплоскость

(синяя линия)

Дата добавления: 2015-07-20