Читайте также:
|
Для уравнения (1) вводится вспомогательная переменная 
и составляется система уравнений типа (2). Для полученной системы находятся 
первый интеграл. Доказано что произвольная функция 
(здесь 
) от первых интегралов системы (2) является решением УЧП I степени (1). Решение:
(4) 
является общим решением УЧП I степени (1). Это устанавливается подстановкой (4) в (1). Иначе это устанавливается тем, что уравнение (1) означает равенство нулю производной от 
вдоль направления вектора 
и то же действительно для первых интегралов (см. уравнение (3)).
Практически для решения УЧП I степени методом характеристик можно воспользоваться следующим алгоритмом:
а) записать систему (2) для уравнения (1).
б) решить систему (2), объединить решения путем исключения вспомогательной переменной и найти первый интеграл
в) записать решение (1) в виде (4).
В дальнейшем, если не оговаривается особо, для УЧП I степени порядка 
в качестве независимых переменных будем обозначать 
- координатные переменные.
(пример №2): задано УЧП I степени
(знак минус нельзя опускать при преобразовании констант интегрирования 
)
Объединяя решения, получим: 
, отсюда первый интеграл 
и общее решение УЧП I степени запишется в виде: 
, где 
- произвольная функция.
На рисунке 2 представлено семейство характеристик 
при 
, а также поверхности функций 
, 
и 
при 
, 
На рисунке 3 представлена поверхность функций и нанесены линии характеристик (в плоскости 
). Видно, что вдоль характеристик значения функции остаются неизменными.
Рис 2. Семейство характеристик [1]; поверхности функций [2], [3] и [4].
Рис 3. Поверхность функций и линии характеристик
Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 62 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Первый интеграл системы обыкновенных дифференциальных уравнений. | | | Задача Коши |