Первый интеграл системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнения в частных производных I степени ч.1.

Линейные однородные уравнения в частных производных I степени

Линейные однородные уравнения в частных производных (УЧП) I степени в общем случае имеют вид:

(1)

где - вектор независимых переменных, - вектор функций, зависящих только от , - неизвестная (искомая) функция.

Решение данного рода уравнений производится с помощью метода характеристик. Суть метода заключается в приведении УЧП I степени к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом используются первые интегралы полученной системы.

Первый интеграл системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Первым интегралом системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

(2)

называется функция , такая что ее производная вдоль направления вектора равна нулю, т.е.:

(3) .

При этом для автономных систем (т.е. систем вида (2), где параметр не входит в правую часть уравнений) существует независимый первый интеграл.

Для нахождения первых интегралов системы (2) необходимо из ее решений (если они существуют!) последовательно исключать вспомогательную переменную .

(пример №1): задана система уравнений:

решая каждое из уравнений системы, получим:

отсюда: и первый интеграл запишется в виде: . Для проверки необходимо результат подставить в уравнение (3):

Семейство кривых уровня при представлено на рисунке 1.

Рис 1. Кривые уровня уравнения

Отсюда следует, что первый интеграл сохраняет постоянные значения вдоль направления (т.е. вдоль вектора , см уравнение (3)).

Дата добавления: 2015-07-20