Регрессионный анализ. Измерение корреляционной связи между признаками хи уи нахождение формы этой связи

Измерение корреляционной связи между признаками х и у и нахождение формы этой связи, ее аналитического выражения (математической модели) - это две важные, неразрывные и дополняющие друг друга задачи корреляционного-регрессионного анализа Их можно рассматривать в разной последовательности.

Найти в каждом конкретном случае тип функции, с помощью которой можно наиболее адекватно отразить ту или иную зависимость между признаками х и у, - одна из основных задач регрессионного анализа.

Выбор типа функции может опираться на теоретические знания об изучаемом явлении, опыт предыдущих аналогичных; исследований, или осуществляется эмпирически - перебором и оценкой функций разных типов и т.п.

Наиболее часто для характеристики связей экономических показателей используют следующие типы функций:

линейную
гиперболическую
показательную
параболическую
степенную
логарифмическую	и др.

Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчетов преобразуют (путем логарифмирования или замены переменных) в линейную форму. Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи имеет вид

(16)

где - теоретическое значение результативного признака, полученное по уравнению регрессии;

, - коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

Параметры уравнения , находят методом наименьших квадратов (метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), т. е. в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных от выровненных :

.

Для нахождения минимума данной функции приравняем к нулю ее

частные производные и получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений:

(17)

Решим эту систему в общем виде:

(18)

(19)

Параметры уравнения парной линейной регрессии иногда удобно исчислять по следующим формулам, дающим тот же результат:

или (20)

. (21)

Определив значения и подставив их в уравнение связи:

, находим значения , зависящие только от заданного значения x

Для практического использования моделей регрессии очень важна их адекватность, т. е. соответствие фактическим статистическим данным. Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии.

Значимость коэффициентов простой линейной регрессии (применительно к совокупностям, у которых п<30) осуществляют с помощью t-критерия Стьюдента. При этом вычисляют расчетные (фактические) значения t -критерия:

для параметра

; (22)

для параметра а₁

; (23)

где п - число наблюдений;

- среднее квадратическое отклонение результативного признака от выровненных значении ;

или - среднее квадратическое отклонение факторного признаках от общей средней .

Вычисленные по формулам (22) и (23) значения, сравнивают с критическими t, которые определяются по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости а (уровень значимости применительно к проверке статистических гипотез — это вероятность, с которой может быть опровергнута гипотеза о том или ином законе распределения. Так, двум доверительным вероятностям 0,95 и 0,99 соответствует 5%-ный и 1%-ный уровни значимости, (т.е. =0,05 и =0,01) и числом степеней свободы вариации v = n-2. В социально-экономических исследованиях уровень значимости обычно принимают равным 0,05. Параметр признается значимым (существенным) при условии, если t_расч. > t _{таблич.} В таком случае практически невероятно, что найденные значения параметров обусловлены только случайными совпадениями.

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью расчета F-критерия Фишера:

, (24)

где п - число наблюдений; т - число параметров в уравнении регрессии.

Полученное значение критерия - F_pacч. сравнивают с критическим (табличным) дня принятого уровня значимости 0,05 или 0,01 и числа степеней свободы v₁=т-1 и v₂ =п-т. Бели F_pacч. > F_maблич то гипотеза о несоответствии заложенных в уравнении регрессии связей реально существующим отвергается.

Принято считать, что уравнение регрессии пригодно для практического использования в том случае, если F_pacч. > F_maблич не менее, чем в 4 раза.

После проверки адекватности, установления точности и надежности построенной модели (уравнения регрессии) ее необходимо проанализировать. Прежде всего, нужно проверить согласуются ли знаки параметров с теоретическими представлениями и соображениями о направлении влияния признака-фактора на результативный признак. Поскольку а₀ является средним значением у в точке х=0 экономическая интерпретация часто затруднена или вообще невозможна

Параметр , т. е. коэффициент при х, в уравнении линейной регрессии называется коэффициентом регрессии.

Коэффициент регрессии показывает, на сколько (в абсолютном выражении) изменяется значение результативного признака у при изменении факторного признака х на единицу.

Наряду с коэффициентом регрессии в экономическом анализе часто используется показатель эластичности изменения результативного признака относительного факторного.

Коэффициент эластичности (Э) показывает, на сколько процентов изменяется в среднем результативный признак у при изменении факторного признака на один процент. Обычно (Э) рассчитывают как отношение прироста (в %) результативного признака к приросту (в %) факторного признака.

Более точно коэффициент эластичности определяют на основе уравнений регрессии:

(25)

Коэффициент эластичности для большинства форм связи - величина переменная, т. е. изменяется с изменением значений факторах.

Как известно, явления общественной жизни складываются под воздействием не одного, а целого ряда факторов, т. е. эти явления многофакторны. Между факторами существует сложные взаимосвязи, поэтому их влияние комплексное и его нельзя рассматривать как простую сумму изолированных влияний.

Многофакторный корреляционный и регрессионный анализ позволяет оценить меру влияния на исследуемый результативный показатель каждого из включенных в модель (уравнение) факторов при фиксированном положении (на среднем уровне) остальных факторов, а также при любых возможных сочетаниях факторов с определенной степенью точности найти теоретическое значение этого показателя (важным условием является отсутствие между факторами функциональной связи).

Математически задача формулируется следующим образом. Требуется найти аналитическое выражение, наилучшим образом отражающее установленную теоретическим анализом связь независимых признаков с результативным, т. е. функцию

где представляет остатки, характеризующие отклонение i-х наблюдений от значений, которые следует ожидать в среднем.

В условиях использования ЭВМ выбор аппроксимирующей математической функции осуществляется перебором решений, наиболее часто применяемых в анализе корреляции уравнений регрессии.

После выбора типа аппроксимирующей функции приступают к многофакторному корреляционному и регрессионному анализу, задачей которого является построение уравнения множественной регрессии и нахождение его неизвестных параметров . Параметры уравнения множественной регрессии, как и в случае парной регрессии, находят по способу наименьших квадратов. Затем с помощью корреляционного анализа осуществляют проверку адекватности полученной модели. Адекватную модель экономически интерпретируют.

Многофакторный корреляционный и регрессионный анализ может быть использован в экономико-статистических исследованиях

• для приближенной оценки фактического и заданного уровней;

• в качестве укрупненного норматива (для этого достаточно в уравнение регрессии подставить вместо фактических значений факторов их средние значения):

• для выявления резервов производства;

• для проведения сравнительного анализа между предприятиями и выявления на его основе скрытых возможностей предприятий;

• для краткосрочного прогнозирования развития производства и др.

---

Дата добавления: 2015-07-20