Степенные ряды

Степенным рядом в комплексной области называется ряд

, (27)

или ряд , (28)

где комплексные числа (коэффициенты ряда),

Ряды (27) и (28) при одних значениях аргумента могут сходиться, при других - расходиться. Совокупность всех значений , при которых ряд (27) [(28)] сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Теорема (Абеля): Если степенной ряд (27) сходится при (в точке , то он абсолютно сходится при всех значениях , удовлетворяющих условию

Следствие: Если ряд (27) расходится при , то он расходится при всех значениях , удовлетворяющих условию , т.е. вне круга радиуса с центром в начале координат.

Из теоремы Абеля следует, что существует такое число , что при всех , для которых , степенной ряд (27) абсолютно сходится. Эти точки лежат на комплексной плоскости внутри круга радиуса с центром в точке

Величина называется радиусом сходимости ряда, круг называется кругом сходимости ряда, вне этого круга ряд расходится, а на границе - может как сходиться, так и расходиться.

Если , то ряд (27) сходится в точке , если , то ряд сходится на всей комплексной плоскости. Для ряда (28) кругом сходимости является круг с центром в точке .

Радиус сходимости находится по формулам:

.

Свойства ряда (27), (28):

1) Сумма степенного ряда внутри круга его сходимости есть аналитическая функция;

2) Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать любое число раз, полученный при этом ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Примеры: Найти область сходимости рядов:

1)

Решение: Здесь Данный ряд сходится в области

2) и исследовать сходимость ряда в точках

Решение: Здесь

Ряд сходится при всех , удовлетворяющих неравенству т. е. Кругом сходимости является круг с центром в точке и радиусом равным 1.

Точка лежит внутри круга сходимости, в этой точке ряд сходится абсолютно. Точка лежит на границе круга сходимости, в этой точке ряд может сходится (абсолютно или условно) и расходиться. Подставляя значение в выражение общего члена ряда, получим Числовой ряд с общим членом расходится согласно интегральному признаку Коши. Следовательно, в точке степенной ряд расходится.

Точка лежит вне круга сходимости, ряд в этой точке расходится.

Дата добавления: 2015-07-20