Числовые ряды

Ряд

, (23)

членами которого являются комплексные числа, называется числовым рядом (в комплексной области). Ряд (23) можно записать в виде

где и - действительные числа.

Сумма первых членов ряда (23) называется частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда: то ряд (23) называется сходящимся, а суммой ряда; если не существует, то ряд (23) называется расходящимся.

Очевидно, что ряд (23) сходится тогда и только тогда, когда сходится каждый из рядов

(24)

(25)

При этом где сумма ряда(24), а сумма ряда (25). Это означает, что исследование сходимости ряда с комплексными членами сводится к исследованию сходимости рядов (24), (25) с действительными членами.

В теории рядов с комплексными членами основные определения, многие теоремы и их доказательства аналогичны соответствующим определениям и теоремам из теории рядов с действительными членами.

Приведем некоторые из них.

Теорема: (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд (23) сходится, то его общий член при стремится к нулю, т.е.

Ряд (23) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

(26)

Теорема: Если сходится ряд (26), то абсолютно сходится ряд (23).

При исследовании на сходимость рядов с комплексными членами применимы все известные из действительного анализа признаки сходимости знакопостоянных рядов, в частности признак Даламбера: Если существует , то при ряд (26) абсолютно сходится, а при - расходится.

Дата добавления: 2015-07-20