Экстремум функции двух переменных

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Пусть функция z=f(x) определена в некоторой области D, точка N₀(x₀) D. Точка N₀(x₀) называется точкой максимума функции z=f(x), если существует δ - окрестность точки N₀(x₀), что для каждой точки x, отличной от N₀(x₀), из этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(x₀). Аналогично определяется точка минимума функции, т.е. если выполняется неравенство f(x) < f(x₀), то N₀(x₀) - точка минимума.

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумом.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N₀(x₀) дифференцируемая функция z=f(x) имеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю: f'(x₀)=0.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума).

а) Если производная f'(x) при переходе через точку x₀ меняет знак с плюса на минус, то точка x₀ является точкой максимума функции f(x).

б) Если производная f'(x) при переходе через точку x₀ меняет знак с минуса на плюс, то точка x₀ является точкой минимума функции f(x).

Пример 1. Найти экстремумы функции f(x)=x²(1-x).

1) Находим производную функции:

f’(x)=2x(1-x) – x² = 2x-3x²=x(2-3x).

2) Находим f’(x)=0:

x(2-3x)=0 => x₁=0; x₂=2/3.

3) Анализируем знаки производной функции на участках:

f’(x)<0, x<0;

f’(x)>0, 0<x<2/3;

f’(x)<0, x>2/3.

4) Вывод:

Точка x₁=0 – точка минимума, f(x₁)=f(0)=0.

Точка x₂=2/3 – точка максимума, f(x₂)=f(2/3)=4/27.

Задание:

1. f(x)=x^2/3 (x-3). Корни: 0; 6/5 – точка минимума. - - +

2. f(x)=xe^-0.5x. f’(x)=e^-0.5x+x(-0.5e^-0.5x)=e^-0.5x(1-0.5x); e^-0.5x(1-0.5x)=0; x=2; + - x=2 - max

3. f(x) = x ln(x).

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области D, точка N₀(x₀;y₀) D. Точка N₀(x₀;y₀) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если существует δ - окрестность точки N₀(x₀;y₀), что для каждой точки (x,y), отличной от N₀(x₀;y₀), из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y) > f(x₀;y₀). Аналогично определяется точка минимума функции, т.е. если выполняется неравенство f(x,y) < f(x₀;y₀), то N₀(x₀;y₀) - точка минимума.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N₀(x₀;y₀) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f'_x(x₀;y₀)=0, f'_y=(x₀;y₀)=0.

Точка в которой частные производные первого порядка функции z=f(x,y) равны нулю, т.е. f'_x=0, f'_y=0, называется стационарной точкой функции z (или точкой возможного экстремума).

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует называется критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремума, а может не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но недостаточным условием существования экстремума. Для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в стационарной точке N₀(x₀;y₀) и некоторой ее окрестности функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке N₀(x₀;y₀) значения A=f'_x'_x(x₀;y₀), B=f'_x'_y(x₀;y₀), C=f'_y'_y(x₀;y₀). Обозначим

Тогда:

1. Если Δ>0, то функция f(x,y) в точке N₀(x₀;y₀) имеет экстремум: максимум, если A<0: минимум, если A>0.

2. Если Δ<0, то функция f(x,y) в точке N₀(x₀;y₀) экстремума не имеет.

3. В случае Δ=0 экстремум в точке N₀(x₀;y₀) может быть, может не быть. Необходимо дополнительные исследования.

Пример 2.

Найти экстремум функции z = 3 x² y – x³ – y⁴

Имеем z'_x = 6xy – 3x², z'_y = 3x² – 4y³.

Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

отсюда получаем точки M₁(6;3) и M₂(0;0).

Находим частные производные второго порядка данной функции:
z'_x'_x = 6y - 6x, z'_x'_y = 6x, z'_y'_y = –12y²

В точке M₁(6;3) имеем: A=-18, B=36, C=-108 отсюда
AC-B²=-18•(-108)•-36²=648, т.е. Δ>0

Так как A<0, то в точке M₁(6;3) функция имеет локальный максимум: z_max=z(6;3)-3•36•3-6³-3⁴=27.

В точке M₂(0;0): A=0, B=0, C=0 и значит, Δ=0. Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке M₂ равно нулю: z(0;0)=0. Можно заметить, что z=-y⁴<0 при x=0, y≠0: z=-x³>0 при x≠0, y=0. Значит, в окрестности точки M₂(0;0) функция z принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке M₂ функция экстремума не имеет.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
Найти стационарные точки:
		, а – параметр
, a, b – параметры
	, a, b, с – параметры
Найти точки экстремума функции:

Дата добавления: 2015-07-20