Теорема синусов

(20)

Для треугольников со сторонами одного рода:

(21)

Число

(22)

называется площадью треугольника.

Если , то треугольник АВС называется прямоугольным. В этом случае .

Из формулы (18) получаем

(23)

т.е. «теорему Пифагора» в плоскости Минковского.

В прямоугольном треугольнике катеты – отрезки разных родов.

Так как для функций комплексного переменного

, то

,

или ,

т.е. .

Из формул (18-20) получаем:

, .

Отрезки, высекаемые треугольником на прямых, проходящих через вершины перпендикулярно сторонам, называются высотами треугольника.

Их обозначают h_a, h_b, h_c.

Так как

то .

Для треугольников со сторонами первого рода

.

Теорема 3 (об описанной окружности)

Около всякого треугольника можно описать окружность (Минковского) и притом только одну.

Дано: D АВС, A (a ₁, a ₂), B (b ₁, b ₂), C (c ₁, c ₂).

Доказать: $ w = окр (D, r) – описанная около D АВС.

Доказательство.

Для доказательства достаточно найти r и D (x ₀, y ₀). Уравнение w:

.

Отсюда

Основной определитель системы

,

т.к. точки А, В, и С не коллинеарны.

Следовательно, система совместна и определена, т.е. найдем (х ₀, у ₀) – координаты точки D.

Из уравнения первой системы найдем r ². Очевидно, r ²¹0 (точки попарно не лежат на одной изотропной прямой).

Что и требовалось доказать.

Теорема 4 (о серединных перпендикулярах)

Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Дано: D АВС, w = окр (D, r) – описанная около D АВС.

Доказать:

Доказательство.

Пусть w – окружность Минковского, описанная около D АВС.

Тогда [ AB ], [ AC ], [ BC ] – ее хорды.

Серединный перпендикуляр к [ AB ] имеет сопряженное с направление и проходит через середину [ AB ], тогда он – диаметр w.

Аналогично, серединные перпендикуляры к [ AС ] и [ BС ] – диаметры w.

Значит, все серединные перпендикуляры проходят через центр окружности w.

Что и требовалось доказать.

Теорема 5 (о высотах треугольника)

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство аналогично доказательству соответствующей теоремы евклидовой геометрии (оставьте место в тетради и докажите самостоятельно!).

Теорема 6 (о медианах треугольника)

Дата добавления: 2015-07-20