Корреляционные функции и спектральные плотности

случайных процессов на выходе перемножителей.

На выходе верхнего перемножителя (ПМ-1) получаем сигнал . Определим математическое ожидание этого случайного сигнала

. (51)

Это равенство получено на основании того, что сомножители и

представляют собой независимые случайные процессы (ранее отмечалось о независимости случайной фазы от сигнала ).

Случайный процесс, равный

, (52)

формируется на выходе блока ФМС при подаче на его вход случайного процесса с выхода блока кодера (К). Определим

и , входящие в (51):

= = , (53)

где ­ детерминированный сигнал.

Согласно (37) из разд. 4.5.можем написать

0. (54)

Подставляя (54) в (53), получим

. (55)

Следовательно, - центрированный процесс.

Математическое ожидание сигнала , зависящего от случайной величины с равномерной плотностью вероятности

на интервале , определим по формуле

=

. (56)

Подставляя (55) и (56) в (51), получим . Это равенство означает, что случайный процесс является центрированным, поэтому корреляционная функция этого процесса определяется в виде:

= =

=

, (57)

где

= ; (58)

­ детерминированная функция.

Аналогично (56) получим и выражение (57) примет окончательный вид

. (59)

Из равенства (59) следует, что случайный сигнал на выходе перемножителя обладает свойством стационарности, так как

1) математическое ожидание этого сигнала постоянно,

2) корреляционная функция зависит от разности времен . Тогда (59) будет иметь вид

. (60)

На рис. 22 представлен график функции , определенный по (60). При построении этого графика учитывался график в разд. 4.4, рис. 11.

Рис. 22 График корреляционной функции

случайного процесса .

Нетрудно показать, что имеет место равенство

. (61)

Спектральную плотность мощности сигнала на выходе перемножителя определим на основании теоремы Винера ­ Хинчина (рис. 23). Преобразуя функцию по Фурье, получим

. (62)

Графики функций и получаются из графика функции путем его смещения, соответственно, вправо и влево на величину . Аналитическое выражение для спектральной плотности мощности определяет формула (26) в разд.4.4.. Форма графика строится с учетом пояснения формулы (26) в разд.4.4.

Рис. 23 График функции .

Также из (62) следует .

Дата добавления: 2015-07-20