Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Построение образов и прообразов точек при гомологии.

Читайте также:
  1. Cтепени сравнения, образованные от разных основ
  2. I. Накопление в подразделении I образование сокровища
  3. II. Общеобразовательный компонент
  4. II. Требования к размещению дошкольных образовательных организаций
  5. II. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ НАЧАЛЬНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
  6. II. Требования к результатам освоения основной образовательной программы начального общего образования
  7. II. Требования к результатам освоения ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ НАЧАЛЬНОГООБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

1. Дано: Р р, А, А′, Р – коллинеарны.

Простроить образ и прообразы произвольных точек.

а) М р → точки прямой р инвариантны.

б) В, С′ (АА ′): (АВ)∩ р=В0, (РВ)∩(В0А ′)= В ′ - образ.

(АС ′)∩ р=С0, (РС ′)∩(С0А)= С - прообраз.

в) К (АА ′) для таких точек вместо точек А и А ′ можно использовать В, В ′ или С, С

(см (б)).

г) D построение аналогично (б).

2. Дано: Р р, А, А′, Р – коллинеарны.

Простроить образ и прообразы произвольных точек.

а) М р → точки прямой р инвариантны.

б) В, С′ (АА ′): (АВ)∩ р=В0, (РВ)∩(В0А ′)= В ′ - образ.

(АС ′)∩ р=С0, (РС ′)∩(С0А)= С - прообраз.

в) К (АА ′) для таких точек вместо точек А и А ′ можно использовать В, В ′ или С, С ′ (см (б)).

г) D построение аналогично (б).

Замечание: Построения для параболической гомологии аналогичны построениям для гиперболической гомологии.

 

Рассмотрим гиперболическую гомологию, пусть Х = (АВ)∩(А′В ′).

При центральном проектировании прямой (АА′) на прямую (ВВ′) с центром Х точки В, В′, В0 являются центральными проекциями точек А, А′, А0. Точка Р при этом проектировании является неподвижной (почему?). Тогда по свойствам сложного отношения (РА0 , АА′)=(РВ0 ,ВВ′), значит это сложное отношение - величина постоянная.

Обозначим её h =(РА0 , АА′) - она называется константой гомологии.

Теорема. Для любой прямой р, точки Р р, и любого действительного числа h, отличного от 0 и 1. Существует гиперболическая гомология с центром Р, осью р и константой h.

Доказательство. Дано Р р, h, берем А. А0= р ∩(АР) - точка единственна. Тогда точка А′ находится из условия h =(РА0 , АА′) - по свойствам сложного отношения такая точка единственна, причем А′ (РА). По предыдущей теореме существует гомология с осью р, центром Р и А → А′. □

Определение: Гомология называется инволюционной, если она совпадает со своим обратным отображением.

Теорема. Параболическая гомология не может быть инволюционной.

Доказательство. От противного. Пусть Р р.

 

Так как преобразование - инволюция, то существуют точки АА ′ и В↔В ′. Тогда прямые (АВ)↔(АВ ′) - переходят друг в друга, Q =(АВ)∩(АВ ′) р. Прямые (АВ)↔(АВ ′) – тоже переходят друг в друга, R =(АВ)∩(АВ ′) р.

Но АВАВ ′ - четырёхвершинник и Δ РQR – диагональный трёхвершинник, а значит эти точки не могут лежать на одной прямой (оси - р). (противоречие). □

 

 

Теорема. Для того чтобы гиперболическая гомология была инволюционной, необходимо и достаточно, чтобы константа h =-1.

Доказательство. Пусть Р р, М → М ′, (ММ ′)∩ р=М0.

Необходимость h = -1.

Пусть М→М ′′, тогда (РМ0,ММ ′)= - 1 =(РМ0М) - по свойству сложного отношения,

но (РМ0, ММ)=(РМ0, М ′′ М ′) - по свойству проективного преобразования М=М ′′ ММ ′.

Достаточность ММ ′.

(РМ0, ММ ′)= (РМ0М)2 = 1 (РМ0М)=± 1.

Но (РМ0М)=1 - не может быть (почему?), (РМ0М) = - 1. □

Вывод: Инволюционная гомология определяется центром и осью.


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 168 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Прямые и квадрики на расширенной евклидовой плоскости | Проективные преобразования плоскости | Аналитическое представление проективных преобразований | Перспектива | Построение образов и прообразов точек. | Отображение пучка в пучок | Построение перспективы пучка в пучок. | Инволюция | Построение образов и прообразов точек при инволюции прямой. | Коллинеация |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Гомология| Гомологии на расширенной плоскости

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)