Проверка результатов методом трапеций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт/

Факультет – ЭНИН _________________________________________

Направление – Теплоэнергетика и теплотехника __________________

Кафедра – Автоматизация теплоэнергетических процессов ______

Численное интегрирование

Отчет по лабораторной работе № 2

по курсу «Информационные технологии»

Выполнил студент гр. 5Б12 _____ …………

^{Подпись Дата Фамилия И.О.}

Проверил ______ _______ ………..

^{должность Подпись Дата Фамилия И.О.}

Томск – 2012

Содержание

Введение. 3

1. Краткое описание метода вычисления интеграла. 4

2. Задача. 5

3. Текст программы.. 6

4. Результаты вычислений. 7

5. Проверка результатов методом трапеций. 8

6. Заключение. 9

Список использованных источников. 10

Введение

Цель: Изучение методов численного интегрирования.

Задачи: Изучить методы численного интегрирования. Составить программу вычисления определенного интеграла на языке Pascal по методу, предложенному преподавателем и получить результат вычислений.

Оценить точность вычислений и его влияние на требуемое число разбиений интервала интегрирования.

1. Краткое описание метода вычисления интеграла.

Самыми простыми методами численного интегрирования являются методы прямоугольников. При этом непосредственно используется замена определенного интеграла интегральной суммой:

В качестве точек zi могут выбираться левые (z i= xi -1) или правые (zi =xi) границы элементарных отрезков. Обозначая yi = f (xi), получим формулы:

· метод левых прямоугольников:

· метод правых прямоугольников:

· более точным является метод средних прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков:

xi -1/2 = 0,5(xi -1 + xi) = xi -1 + 0,5 hi, i = 1, 2, …, n.

Для частного случая hi = h = const формулы примут вид

Если координату выразить через начальную точку и принять, что I ≈ S, то получим формулы, готовые для применения в операторе цикла с переменной:

2. Задача

Решить интеграл методом левых прямоугольников

3. Текст программы

Program integral;

Var i,n:integer; a,b,h,s:real;

Function f(x:real):real;

Begin f:=sqr((exp(x)-exp(-x))/2);

End;

Begin

Writeln('Введите нижний предел интегрирования'); Readln(a);

Writeln('Введите верхний предел интегрирования'); Readln(b);

Writeln('Введите кол-во отрезков'); Readln(n);

h:=(b-a)/n; s:=0;

for i:=1 to n-1 do

Begin

s:=s+h*f(a+h*(i-1));

End;

Writeln('Интеграл равен',s); Read;

End.

4. Результаты вычислений

Введите нижний предел интегрирования 0.5

Введите верхний предел интегрирования 1

Введите количество отрезков 200

Интеграл равен 0.358098998119659

Проверка результатов в Mathcad.

Рисунок 4.1

Проверка результатов методом трапеций

Введите точность: 0.0001

Интеграл равен: 0.362915122777231

Код программы (метод трапеций)

Program trapeciya;

var n, i:integer; S,S2,h,a,b,e:real;

Function F(x:real):real;

Begin

F:=sqr((exp(x)-exp(-x))/2);

end;

Begin

b:=1;

a:=0.5;

Write('Введите точность'); Readln(e);

n:=200;

h:=(b-a)/n;

For i:=1 to n do

S:=S+(0.5*h*(F(a+h*(i-1))+F(a+h*i)));

S2:=S;

Repeat

S:=S2;

S2:=0;

n:=2*n;

h:=(b-a)/n;

For i:=1 to n do

S2:=S2+(0.5*h*(F(a+h*(i-1))+F(a+h*i)));

until (abs(S2-S)/3)<e;

Write('интеграл равен',S2);

End.

6. Заключение

Я изучил метод численного интегрирования «Метод левых прямоугольников». Научился создавать программу с помощью языка Pascal для решения определённого интеграла методом левых прямоугольников.

Вывод: погрешность вычисления методом левых прямоугольников составила 1%

Погрешность вычисления методом трапеций составила 0,9%

Список использованных источников

1. В.В. Беспалов - Основы применения вычислительной техники и программирование: учебное пособие./– Томск: Издательство ТПУ, 2007. – 107 с.

2. Стандарт организации, СТО ТПУ 2.5.01-2011, Режим доступа: http://standard.tpu.ru/docs/standorg/ВКР_ориг1.htm - Загл. с экрана.

Дата добавления: 2015-07-26