Доказательство третьего закона Кеплера

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках A и B (перигелий и афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках A и B, запишем

Теперь, когда мы нашли VB, мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

Однако полная площадь эллипса равна (что равно πab, поскольку ). Время полного оборота, таким образом, равно

Заметим, что если масса m не пренебрежимо мала по сравнению с M, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы M + m (см. приведённая масса). При этом массу M в последней формуле нужно заменить на M + m:

Небесная механика

Задача Бертрана

КЕПЛЕРА ЗАКОНЫ, принципы движения планет, сформулированные в начале 17 в. И.Кеплером (1571–1630) на основе многолетних наблюдений Т.Браге (1546–1601). Они используются в небесной механике и формулируются так:

1. Орбита любой планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Планета движется так, что ее радиус-вектор за равные интервалы времени заметает равные площади. (Закон площадей.)

3. Квадраты периодов любых двух планет соотносятся как кубы их средних расстояний от Солнца. (Гармонический закон.)

Замечательно, что законы Кеплера, составляющие базис небесной механики, выведены из наблюдений Тихо, выполненных без телескопа.

Закон 1. Тихо поставил перед Кеплером задачу создания научной теории движения Марса. Следуя методике тех лет, Кеплер перепробовал множество комбинаций эпициклов и эксцентриков, но не смог найти подходящую для точного предвычисления наблюдаемого положения планеты. Наконец, он предположил, что орбита Марса эллиптическая, и увидел, что эта кривая хорошо описывает наблюдения, если Солнце поместить в один из фокусов эллипса. Затем Кеплер предположил (хотя и не мог точно доказать этого), что все планеты движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце. А орбиту Луны он описал эллипсом, в фокусе которого расположена Земля.

Действительно, орбиты всех больших планет – эллипсы, причем у Венеры орбита наиболее округлая (эксцентриситет е = 0,0068), а у Плутона наиболее вытянута (е = 0,2485). Орбиты малых планет – астероидов – тоже эллипсы; наиболее круглая орбита у астероида 1177 Гоннезия (е = 0,0063), а наиболее эксцентричная у 944 Идальго (е = 0,656).

Закон 2. Законы Кеплера полностью эмпирические, они выведены из наблюдений. Чтобы получить закон площадей, Кеплер трудился около восьми лет, проделав громадный объем вычислений. Чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она движется по орбите. Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее; поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленно, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

КЕПЛЕРОВСКИЙ ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ. Согласно этому закону, если заштрихованные площади равны друг другу, то планета в своем орбитальном движении вокруг Солнца (S) проходит отрезки ab, cd и ef за одинаковое время.

Закон 3. Третий, или гармонический, закон Кеплера связывает среднее расстояние планеты от Солнца (a) с ее орбитальным периодом (t):

где индексы 1 и 2 соответствуют любым двум планетам.

Пример: найти среднее расстояние от Солнца планеты Уран, имеющей период 84,015 лет. Из приведенной выше формулы, взяв период Земли за 1 год и ее расстояние от Солнца за 1 а.е.,

Ньютон (1643–1727) установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до нее, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что закон Кеплера не совсем точен; что в действительности в него входит и масса планеты:

где M – масса Солнца, а m ₁ и m ₂ – массы планет. Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их расстояния и орбитальные периоды.

Настройка "полярки" - это технология

В. Лощинин

Оригинал: ТЕЛЕ СПУТНИК 12(26), Декабрь 1997

Ветераны спутникового телевидения вспоминают, как ожидали звездную ночь, готовили подвеску антенны для установки телескопа и настраивали полярную ось подвески на Полярную звезду с помощью телескопа. Вспоминают, как ожидали солнечного полдня, чтобы по часам и отвесу точно определить направление "север-юг". Эти времена прошли. На продолжительность всепогодной настройки полярной подвески можно объявлять соревнование мастеров, и многие уложатся в полчаса, хотя обычно профессионалы не спешат. Настройка полярной подвески стала сегодня ясной технологией. Идея полярной подвески заключается в том, чтобы вращать параболическое зеркало вокруг оси, параллельной оси вращения Земли. В таком случае, если настроить зеркало на вершинный спутник, можно ожидать, что луч антенны отследит геостационарную орбиту спутников-ретрансляторов при вращении вокруг полярной оси. Рис. 1 поясняет стереометрию этой идеи. Поскольку оси вращения Земли и полярная ось в подвеске антенны разнесены в пространстве на расстояние, соизмеримое и с радиусом Земли, и с радиусом геостационарной орбиты, то возникает принципиальная ошибка метода, ее угловая мера обозначена на рис. 1 углом X. Это угол между направлением на крайний спутник и главным лепестком диаграммы направленности антенны, настроенной по вершинному спутнику, при повороте ее на крайний спутник при d = dmax на данной местности. К счастью, угол ошибки X — малый угол. Этот угол можно вычислить по следующей формуле (1). ___________________ / 2 2 \/ 6.618 - 2 + cos Ф - (6.618-cos Ф)X = arctg (sin Ф ----------------------------------------------) (1) ___________________ / 2 2 2 (6.618-cos Ф) \/ 6.618 - 2 + cos Ф + sin Ф На экваторе (Ф = 0) угол ошибки X = 0, на предельной широте (Ф = arccos 0,1511) угол ошибки тем более равен нулю. Наибольшее значение Xmax = 0,63° достигается при Ф = 40°, на широте Полтавы и Киева X = 0,58°, Москвы X = 0,51°, С.-Петербурга X = 0,45°. В силу малости угла ошибки X по сравнению с шириной главного лепестка диаграммы направленности в большинстве случаев величиной X или совсем пренебрегают, или вносят небольшую поправку, о чем речь далее. Рисунок 1. Если зеркало установлено на подвеске так, что главный лепесток диаграммы направленности перпендикулярен полярной оси подвески, то в процессе вращения зеркала относительно полярной оси главный лепесток ("луч") антенны будет параллельным плоскости экватора и никогда не пересечет орбиту спутников-ретрансляторов. Для настройки антенны на геостационарную орбиту луч надо опустить на угол y, называемый углом склонения. Угол склонения y рассчитывается по следующей формуле (2). sin Фy = arctg --------------- (2) 6.618 - cos Ф Сразу укажем предельные значения y согласно приведенной формуле (2): на экваторе (Ф = 0) имеем y = 0; далее функция y = y(Ф) монотонно возрастает при увеличении Ф и на предельной широте cos Ф = 0,1511 имеем ymax = 8,7°; на широте Полтавы угол склонения y = 7,3°, Киева y = 7,4°, Москвы y = 7,8°, С.-Петербурга y = 8,1°. Оговоримся, что в реальных условиях угол склонения y содержит в себе не только упомянутую добавку к углу широты, но также всю погрешность "верх-низ" в расположении конвертора относительно точки истинного фокуса зеркала. Настройщики знают, что недогнутые и перегнутые консоли тоже "сидят" в этом угле и вызывают его отклонение от расчетного значения. Опишем конструкцию типичной полярной подвески (см. рис. 2). Подвеска устанавливается на цилиндрическую опору в виде вертикальной трубы, присоединительная часть подвески выполнена при этом в виде прямоугольного или цилиндрического стакана, снабженного болтами. Иногда болты позволяют выровнять стакан, если труба не достаточно вертикальна. К стакану крепится большой флаг, содержащий полярную ось, относительно которой организуется вращение зеркала. Поскольку полярная ось должна быть наклонена к горизонтальной плоскости под углом широты Ф, то на большом флаге имеются соответствующие регулировочные пазы и болты для фиксации установленного угла. Между полярной осью и зеркалом вводится еще один механизм, на рис. 2 он назван "малый флаг", который осуществляет отклонение зеркала вверх и вниз на угол склонения y. Наконец, между большим флагом и зеркалом устанавливается актуатор, для чего на большом флаге есть место для закрепления хомута корпуса актюатора, а на зеркале имеется кронштейн для закрепления выдвижного штока актюатора. Теперь у нас достаточно данных для описания технологии настройки полярной подвески. Во-первых, настраиваем вертикаль опорной трубы. Строго говоря, это не всегда обязательно: иногда отклонение опоры от вертикальности компенсируется настройкой стакана, отклонение от вертикальности в направлении "север-юг" полностью компенсируется при настройке угла широты, а отклонение от вертикальности в направлении "запад-восток" частично компенсируется отклонением большого флага в том же направлении "запад-восток". Тем не менее, добротная вертикаль опорного устройства развязывает настройщику руки, а наклон опоры, наоборот, загоняет настройщика в угол. Все дело в том, что в процессе настройки приходится вращать большой флаг в направлении "запад-восток" с тем, чтобы большой флаг занял в итоге точно южное или почти точное южное направление. Если опора наклонная, то при этом вращении будет меняться еще и угол широты, а нагромождать кучу проблем с регулировкой сразу двух ответственных углов — тяжелая форма самоистязания. Обычно точность вертикали ±(0,3-0,5)° достаточна. Вертикаль контролируется в двух плоскостях отвесом или по углам близкорасположенных зданий. Рисунок 2. Во-вторых, устанавливаем угол широты. Чтобы не было влияния погрешности установки вертикали, лучше этот угол контролировать и настраивать после установки подвески на вертикальную опору. Но конструкция подвески не всегда это позволяет. В таком случае угол широты может быть настроен до монтажа подвески и антенны в целом на вертикальную опору, но тогда за вертикальностью опоры следует особо последить. Настройка угла широты выполняется универсальным угломером с градусной шкалой, а если требуется лучшая точность, а она требуется, то следует изготовить прямоугольный треугольник с углом широты Ф при одной из вершин и размером катетов примерно = 200 мм. При другой вершине окажется дополнительный угол (90° — Ф), тоже полезный при настройке. В процессе измерения угла широты контролируется горизонтальность или вертикальность одного из катетов уровнем или отвесом, или же по углу расположенного рядом здания. В-третьих, настраивается угол склонения. Процедура настройки следующая. Включается электроника и настраивается на прием вершинного спутника, угол склонения устанавливается на ожидаемое расчетное положение, например, в Полтаве — 7,2°, а большой флаг предварительно ориентируется на юг, например с точностью ±(5-10)°. Угол склонения устанавливается по лимбу изготовителя или через пересчет в угол длин элементов конструкции, если лимб не предусмотрен. Ориентация на юг осуществляется по компасу, по Полярной звезде, по стенам церквей, по солнцу в полдень, по большим флагам расположенных рядом антенн с полярной подвеской или по опыту установки антенн в данном районе города (в данной местности). Далее актюатором (но возможно и вручную) зеркало проворачивается на ±(10-20)° влево-вправо с целью захватить сигнал вершинного спутника. Захват происходит эффективно, если выбран спутник, транслирующий в С-диапазоне, т.к. при больших длинах волн луч (главный лепесток) у антенны шире. В центральных районах России и на Украине таким спутником является "Горизонт-40Е", настройка на программу "РТР", транслируемую на низкой частоте f = 3,675 ГГц с большим уровнем сигнала, очень удобна для захвата. Далее следует оценить визуально угол между большим и малым флагами, измеряемый в плоскости, перпендикулярной полярной оси. Этот угол назовем "угол поворота" и обозначим T. Этот угол близок к относительной долготе спутника d, однако больше его. Величина угла поворота T связана с величиной угла относительной долготы спутника d следующими соотношениями (3): _______________________cos d = m + \/ 1 + 2m - 2m*cosd*cosT (3)m = 0,1511 * cos Ф Для вершинных спутников cosd ~= 1, откуда следует, что и cosT ~= 1; при дифференцировании левой и правой части равенства получаем при cosd ~= 1 ~= cosT и sind ~= d, sinT ~= T для вершинных спутников (4): d ~= (1 - m)*T = (1-0,1511*cos Ф)*T (4) Поскольку m << 1, то этой точностью можно считать, что для вершинных спутников d ~= T. В Полтаве, например, m ~= 0,1; для спутника "Горизонт-40Е" имеем d = -5,4° и T ~= -6,0°, для спутника "Галс-36Е" имеем d = -1,4° и T ~= -1,6°. Для окраинных спутников T > d. Если большой и малый флаги разнесены на существенно иные углы или даже имеем угол T не с тем знаком, то следует повернуть стакан и повторно его закрепить, а затем повторить захват вершинного спутника, добиваясь приблизительного соответствия величины и знака угла T. Обратите внимание: если ваша антенна содержит блок конверторов, то расчетные углы соответствуют конвертору, расположенному симметрично относительно раскрыва зеркала. Если захват спутника не получился, следует изменить положение большого флага в связи с возможной ошибкой его предварительной установки или изменить угол y в связи с возможной ошибкой его предварительной установки. После захвата вершинного спутника для выполнения точной настройки угла склонения y следует перейти на высокочастотные программы "НТВ-Плюс" со спутника "Галс-36Е", при приеме которых луч антенны существенно более острый, или расстроить настройку радиоканала при приеме программы "РТР" со спутника "Горизонт- 40Е", с тем чтобы сделать более критичной расстройку по углу T. Изменяя далее угол склонения y, добейтесь наиболее широкой зоны устойчивости изображения при варьировании угла T. Удобнее всего это делать в разности числа отсчетов сенсора актюатора, индицируемых тюнером-позиционером. Со временем даже выработаются стереотипы на число этих отсчетов для антенн разных диаметров. После этого возможно слегка расстроить антенну, подняв луч (уменьшив угол склонения) на величину половинного угла ошибки. Настройка угла склонения завершена. В-четвертых, настраиваем угол "север-юг" большого флага. Расширяем варьирование угла поворота T и включаем в меню настройки сначала спутники"Eutelsat 13Е" (программы "Eurosport", "Euronews" и "BBC world") и "Intelsat 63E" (программы "IRIB"), а затем еще далее на запад к спутникам "Intelsat 1W" (программы "TV NORGE", "TV5") и "Экспресс-14W" (программа "НТВ") и на восток к спутнику "Экспресс-80E" (программы "АСТ 2х2", "ТВ-6", "ТВ-3"). Варьируя большой флаг в направлениях "восток-запад", добиваемся наилучшего качества приема. При этом перемещение большого флага, например, на восток, означает подъем луча антенны для восточных спутников и опускание — для западных. Всякий раз после очередного поворота большого флага следует актюатором находить зону наилучшего приема и сравнение качества изображения проводить только при этом условии. Чтобы настройка была осознанной и чтобы ваши действия можно было планировать, всякий раз представляйте себе, что луч антенны при повороте зеркала вокруг полярной оси "рисует на небе" траекторию, похожую на геостационарную орбиту спутников-ретрансляторов, но сдвинутую влево-вправо (т.е. на восток-запад) или вверх-вниз, и ваша задача — наиболее точным образом слить эти две линии. С завершением настройки большого флага в направлении "север-юг" настройка полярной подвески завершается. Уложились в полчаса? В описании процедуры настройки мы опустили такие традиционные процедуры, как выставление пределов перемещения актюатора и юстировку конвертора (блока конверторов) относительно точки фокуса.

Дата добавления: 2015-07-26