Чебышева квадратурная формула

ЧЕБЫШЕВА КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА

- интерполяционная квадратурная формула с равными коэффициентами:

Весовая функция равна 1, промежуток интегрирования конечен и считается совпадающим с [ - 1, 1]. Число параметров, определяющих квадратурную формулу (*), равно N+ l (Nузлов и значение коэффициента С). Параметры определяются требованием, чтобы квадратурная формула (*) была точна для всех многочленов степени не выше Nили, что то же самое, для одночленов 1, х, х ²,..., x^N.
Параметр Снаходится из условия, что квадратурная формула точна для f(x) = 1,и равен 2/ N. Узлы x₁...., x_N оказываются действительными лишь при N=1(1)7 и N= 9. При N=1(1)7 узлы вычислил П. Л. Чебышев. При среди узлов Ч. к. ф. всегда имеются комплексные (см. [1]). Алгебраич. степень точности Ч. к. ф. равна Nпри Nнечетном и равна N+ 1 при Nчетном. Формула (*) предложена П. Л. Чебышевым в 1873.

25 Метод Эйлера-Коши

Метод Эйлера-Коши также относится к методам второго порядка и тоже требует двукратного вычисления функции f (x, y):

y⁰_i+1 = y_i + hf (x_i, y_i);

y_i+1 = y_i+ (f (x_i, y_i) + f (x_i+1, y⁰_i+1)) h/2.

Методы Эйлера относятся к группе с общим названием метода Рунге-Кутта, к этой же группе принадлежит и метод, называемый методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Согласно этому методу для вычисления одного значения функции y(x) необходимо вычислить функцию f(x, y) в четырех точках:

K1_i = f (x_i, y_i);

K2_i = f (x_i + h/2, y_i + K1_i/2);

K3_i= f (x_i + h/2, y_i + K2_i/2);

K4_i= f (x_i + h, y_i + K3_i);

y_i+1 = y_i + h (K1_i + 2K2_i + 2K3_i + K4_i)/6.

Погрешность этого метода пропорциональна h⁴, т.е. |y_i-y_i*| < O(h⁴).

Дата добавления: 2015-07-20