Плоскости в трёхмерном пространстве

Способы задания плоскости

I. Пусть имеется плоскость α в трёхмерном пространстве, и точка , , , причём и не коллинеарны. Для любой точки векторы компланарны. Тогда по теореме о компланарных векторах

(1)

где . Отметим, что равенство (1) не выполняется, если . Это уравнение однозначно определяет плоскость и называется векторно-параметрическим уравнением плоскости α.

Если рассматривать аффинную систему координат на плоскости α, то точка М будет иметь координаты . А, значит, существует взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости α и парами чисел .

Рассмотрим аффинную систему координат в пространстве .

Тогда , , , .

Из равенства (1) получаем (2)

Очевидно, что из (2) (1). Это параметрические уравнения плоскости, где u, v – параметры.

II. Т.к. векторы компланарны, то по критерию компланарности трёх векторов получаем уравнение плоскости через определитель:

. (3)

Вычисляя определитель, получаем уравнение:

, (3)

где (4)

Из (3) следует , (5)

где .

Т.к. векторы неколлинеарны, то их координаты не пропорциональны, а, значит, не обращается в нуль хотя бы один из определителей второго порядка (4), т.е. среди А, В, С есть хотя бы одно ненулевое число.

Значит, уравнение (5) является уравнением первой степени, и справедлива

Теорема. Любая плоскость определяется уравнением первой степени относительно аффинной системы координат в пространстве.

Справедлива и обратная

Теорема. Всякое уравнение (5) первой степени определяет некоторую плоскость в пространстве, если задана аффинная система координат .

Уравнение (5) называется общим уравнением плоскости.

III. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Пусть . Тогда векторы . Пусть в аффинной системе координат и пусть .

Тогда векторы компланарны и

(6)

Частный случай: и abc ¹ 0. Тогда .

или .

Поделим на abc ¹ 0 и получим уравнение плоскости «в отрезках»:

(7)

Общее уравнение плоскости

Рассмотрим плоскость α = (), , , , где координаты заданы в аффинном репере .

Тогда плоскость α имеет общее уравнение , (1)

где . (2)

Если некоторый вектор и , то вектора , , – компланарны и из критерия компланарности следует, что или

. (3)

Рассмотрим вектор . Для него условие (3) не выполняется, значит не параллелен плоскости α. Пусть , , тогда из (2) следует , то есть .

Вектор называется вектором нормали плоскости α.

Плоскость α может быть задана уравнением

, (4)

где и вектор – вектор нормали плоскости.

Определение. Всякая прямая d, перпендикулярная плоскости α, называется нормалью к плоскости α.

Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть плоскости и заданы своими уравнениями в репере :

, (1)

(2)

Обозначим r – ранг матрицы , и – ранг матрицы .

Рассмотрим возможные случаи значений рангов r и и взаимного расположения плоскостей и :

а) ;

б) либо :

;

.

Угол между двумя плоскостями

Пусть заданы две пересекающиеся плоскости своими уравнениями:

, (1)

(2)

в прямоугольной системе координат . Их векторы нормали , , соответственно.

Определение. Углом между плоскостями называется любой из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Пусть , , , .

Угол равен линейному углу одного из двугранных углов, образованных данными плоскостями (углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Чтобы найти его величину достаточно найти величину угла между векторами : .

Или в координатной форме: .

Отсюда следует: (т.к. ).

Расстояние от точки до плоскости

Пусть в ортонормированном репере плоскость a задана общим уравнением и точка .

Тогда .

Дата добавления: 2015-07-15