Модуль и фаза комплексного числа

Если из начала координат комплексной плоскости к точке восстановить вектор, то можно вычислить длину этого вектора как

.

(3)

При этом — действительное число характеризующее длину вектора и называется модулем комплексного числа. При этом сам вектор комплексного числа повернут относительно оси на некоторый угол , называемый фазой. Связь реальной и мнимой частей комплексного числа с его амплитудой и фазой представлено следующим выражением:

(4)

Тогда комплексное число можно представить в тригонометрической форме

.

(5)

Связь угла поворота вектора комплексного числа с реальной и мнимой частью комплексного числа:

,

(6)

тогда

,

(7)

где учитывает четверть комплексной плоскости в которой расположено число :

.

(8)

Рисунок 2: Вычисление угла поворота вектора комплексного числа

Для того чтобы понять смысл функции рассмотрим четыре варианта как это показано на рисунке 2.

Рисунок 2.а. , и , вектор в первой четверти плоскости. В этом случае и .

Рисунок 2.б. , и вектор во второй четверти плоскости. В этом случае . Обозначим , тогда . угол находится в четвертой четверти а угол во второй. Для того чтобы получить угол необходимо , т.е.

Рисунок 2.в. , и вектор в третьей четверти плоскости. В этом случае . Обозначим , тогда . угол находится в первой четверти а угол в третьей. Для того чтобы получить угол необходимо , т.е. .

Рисунок 2.г. , и вектор в четвертой четверти плоскости. В этом случае . Обозначим , тогда . угол находится как и угол в четвертой четверти следовательно они равны, т.е. и

Функция которая позволяет получить угол c учетом четверти комплексной плоскости в которой расположен вектор называется функция арктангенс-2 и обозначается . Функция арктангенс-2 присутсвует во всех математических приложениях и может быть использована для расчета верного угла поворота вектора комплексного числа.

Дата добавления: 2015-07-18