Направляющие косинусы вектора ускорения

Кинематика материальной точки.

Материальной точкой (частицей) называется тело, размерами, структурой и внутренними движениями которого в данных условиях при описании движения можно пренебречь.

Системой отсчёта (СО) называется совокупность тела отсчёта, относительно которого рассматривается движение других тел, линеек и часов. Прежде чем говорить о движении и его описывать, нужно выбрать СО.

Кинематика изучает геометрические формы и типы движений безотносительно к причинам, их вызывающим. Все СО кинематически эквивалентны в смысле возможности выбрать любую из них для описания движения.

Геометрическим изображением СО является система координат (СК).

Простейшим вариантом СК является, декартова прямоугольная система координат.

Рисунок 1– Правовинтовая прямоугольная декартова система координат.

Движение частицы в этой системе координат может быть задано разными способами. Наиболее распространенный из них – это так называемый кинематический закон движения, когда задаются зависимости от времени всех координат частицы:

, , (1)

Вводя в рассмотрение радиус-вектор частицы , идущий из начала координат в рассматриваемую точку, можно уравнение (15) записать в векторном виде

(2)

Здесь, , , – орты координаты осей. Выражения (1), (2) называются кинематическим законом движения точки.

Линию, по которой движется тело,называют траекторией движения этого тела.

Уравнение траектории получается из уравнения (2) путём исключения времени t.

Вектором перемещения за промежуток времени называется вектор, равный

(3)

Рисунок 2 – Перемещение. Траектория.

Перемещение точки за время – вектор, который соединяет положения точки в момент времени и . Из рисунка видно, что .

Путь , пройденный точкой за промежуток времени , определяется как длина дуги между точками P и Q.

Вектором средней скорости называется величина (рисунок 2)

(4)

Направлен вектор так же, как и .

Рисунок – Направление вектора скорости

Векторы скорости и начинаются в тех точках, в которых находилась частица в соответствующие моменты времени, а вектор скорости , характеризующий движение частицы в интервале времени , можно рисовать в любой точке траектории, соответствующей указанному интервалу (на рисунке 3 он изображен в точке, соответствующей моменту t₂).

касательная

касательная

Рисунок 3 – Траектория движения материальной точки

Вектор мгновенной скорости характеризует быстроту измерения радиус – вектора точки в данный момент времени и определяется равенством:

(5)

Здесь знак «» называется равенством по определению, чтобы отличать его от знака равенства, стоящего в физических законах.

Проекции этого вектора на координатные оси равны:

; ;

Тогда

(6)

и модуль вектора скорости:

(7)*

Вектор направлен по касательной к траектории в сторону движения точки (рисунок 3). Движение точки можно задать и иначе: задается уравнение траектории, положение точки на траектории в начальный момент времени t = 0 и зависимость пройденного пути от времени . Такой способ задания движения принято называть естественным. Тогда модуль вектора скорости определяется равенством:

, (8)

а сам вектор записывается в виде: ,

где – единичный вектор касательной ,

Направляющие косинусы вектора скорости:

; ; (9)

Вектор среднего ускорения определяется равенством (рисунок 4)

(10)

Рисунок 4 – Вектор среднего ускорения

Вектор мгновенного ускорения характеризует быстроту изменения вектора скорости в данный момент и определяется соотношением:

(11)

Проекции вектора ускорения на координатные оси:

; ; (12)

Тогда

(13)

модуль вектора ускорения

(14)

Направляющие косинусы вектора ускорения

; ; (15)

Дата добавления: 2015-07-18