Мотивация.

Непрерывные дроби дают самое "математически естественное" представление вещественных чисел.

Большинство людей знакомы с десятичным представлением вещественных чисел, которое может быть определено как

где a₀ может быть любым целым числом, а последующие a_i - элементы множества {0,1,2,…,9}. В этом представлении число π, к примеру, может быть представлено как последовательность целых чисел .

Это десятичное представление имеет несколько проблем. Одна из них: многие рациональные числа не имеют конечного представления в этой системе. Например, число 1/3 представимо бесконечной последовательностью (0,3,3,3,3,…). Другая проблема заключается в том, что константа 10 выбрана, по сути, произвольно, мы оказываем предпочтение числам, которые как-либо связаны с целым числом 10. Например, 137/1600 имеет конечное десятичное представление, тогда как 1/3 не имеет, не потому, что 137/1600 проще, чем 1/3, а всего лишь потому, что 1600 делит некоторую степень 10 (10⁶ = 1600 × 625). Запись в виде цепной дроби не имеет этих проблем.

Давайте рассмотрим, как мы можем описать число 415/93, которое примерно равняется 4,4624. Это примерно 4. Вообще-то это чуть больше, чем 4, около 4 + 1/2. Но 2 в знаменателе не совсем точно; там должно быть число чуть больше, чем 2, примерно 2 + 1/6. Таким образом, 415/93 примерно равняется 4 + 1/(2 + 1/6). Но 6 в знаменателе неточно; настоящее значение чуть больше 6: это 6+1/7. Таким образом, 415/93 = 4+1/(2+1/(6+1/7)). Это точное равенство.

Опуская некоторые обязательные части в выражении 4 + 1 / (2 + 1 / (6 + 1 / 7)), мы получим краткую нотацию [4;2,6,7]. (Заметьте, что общепринято заменять только первую запятую точкой с запятой.)

Представление вещественного числа в виде непрерывной дроби может быть определено таким образом. Оно имеет несколько желательных свойств:

Ø Непрерывная дробь конечна тогда и только тогда, когда число является рациональным.

Ø Каждое рациональное число имеет, по существу, единственное представление непрерывной дробью. Каждое рациональное число можно представить в точности двумя способами, т.к. [a₀; a₁, … a_{n − 1}, a_n] = [a₀; a₁, … a_{n − 1}, a_n − 1, 1]. Математики предпочитают иметь взаимно-однозначное соответствие между рациональными числами и цепными дробями; первая, более короткая нотация выбрана в качестве канонического представления.

Ø Представление непрерывной дробью иррационального числа единственно.

Ø Цепная дробь является периодической тогда и только тогда, когда число является квадратичной иррациональностью, т.е. имеет вид

для целых a, b, c, d; где b и d не ноль, c>1 и c не являются точными квадратами.

К примеру, периодическая непрерывная дробь [1; 1, 1, 1, …] является золотым сечением, а периодическая непрерывная дробь [1; 2, 2, 2, …] является квадратным корнем из 2.

Ø Отбрасывание "хвоста" цепной дроби, равной числу x, приводит к рациональному приближению x, которое в определенном смысле является "наилучшим" рациональным приближением.

Последнее свойство чрезвычайно важно. У десятичного представления числа его нет. Усечение десятичного представления числа приводит к рациональному приближению числа, но обычно к не очень хорошему приближению. К примеру, усечение 1/7 = 0.142857… в разных местах приводит к приближениям, в частности, 142/1000, 14/100 и 1/10. Но, очевидно, лучшим рациональным приближением будет само число "1/7". Обрывая десятичное представление π, мы получим, например, приближения 31415/10000 и 314/100. Цепная дробь π начинается так: [3; 7, 15, 1, 292, …]. Обрывая это представление, мы получаем отличные рациональные приближения 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …. Знаменатели 314/100 и 333/106 почти одинаковые, но ошибка в приближении 314/100 в девятнадцать раз больше ошибки в приближении 333/106. Как приближение π, [3; 7, 15, 1] более чем в сто раз точнее приближения 3,1416.

Дата добавления: 2015-07-18