Приложение 3.

Интересный результат, который следует из того, что выражение непрерывной дроби для φ не использует целых чисел, больших 1, состоит в том, что φ является одним из самых "трудных" действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел. Одна теорема (Теорема Гурвица) ^[7] утверждает, что любое действительное число k может быть приближено дробью m/n при помощи

Хотя практически все действительные числа k имеют бесконечно много приближений m/n, которые находятся на значительно меньшем расстоянии от k, чем этот предел, приближения для φ (т.е. числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т.д.) последовательно "касаются границы", удерживая расстояние на почти точно от φ, тем самым никогда не создавая приближения, столь же внушительные, как, к примеру, 355/113 для π. Может быть показано, что любое действительное число вида (a + bφ)/(c + dφ), где a, b, c иd являются целыми числами, причём ad − bc = ±1 – имеет такое же свойство, как и золотое сечение φ; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

Заключение.

Данная исследовательская работа показывает значение цепных дробей в математике.

Их можно успешно применить к решению неопределенных уравнений вида ax+by=c. Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы найти какое-нибудь его частное решение. Так вот, с помощью цепных дробей можно указать алгоритм для разыскания такого частного решения.

Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределенных уравнений, например, так называемого уравнения Пелля:

().

Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических и трансцендентных уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных функций.

В настоящее время цепные дроби находят все большее применение в вычислительной технике, ибо позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.

Используемая литература.

1. Интернет – ресурсы.

2. Сайт «Википедиа».

Дата добавления: 2015-07-18