Историческая справка. Содержание

Содержание

Введение

Глава I. Основная часть

1. История

2. Непрерывные дроби – общие сведения

3. Мотивация

Приложения

1. Свойства золотого сечения

2. Теория календаря

3. Решение сравнений первой степени

Заключение

Используемая литература

Введение

Целью моей исследовательской работы является теория цепных дробей. В ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.

Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение.

Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.

Задачи:

1. Найти информацию о непрерывных дробях.

2. Понять, что такое непрерывные дроби.

3. Создать отчет, содержащий подробное описание проделанной работы (исследовательская работа).

Методы исследования:

1. Анализ

2. Подбор информации

Глава 1.

Историческая справка

Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение — это 12-я подходящая дробь для или от 4-й подходящей дроби для .

В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа π (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. его алгоритм).

Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь». Эквивалентный термин «цепная дробь» появился в конце XVIII века.

Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение.

В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.

2.Непрерывные дроби – общие сведения

Последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби. Например, последовательность 1, 1/2, 2/3, 3/4,..., n/(n + 1),... порождает непрерывную дробь

где многоточие в конце указывает на то, что процесс продолжается бесконечно. В свою очередь непрерывная дробь порождает другую последовательность дробей, называемых подходящими. В нашем примере первая, вторая, третья и четвертая подходящие дроби равны

и

Их можно построить по простому правилу из последовательности неполных частных 1, 1/2, 2/3, 3/4,.... Прежде всего выпишем первую и вторую подходящие дроби 1/1 и 3/2. Третья подходящая дробь равна (21 + 33)/(21 + 32) или 11/8, ее числитель равен сумме произведений числителей первой и второй подходящих дробей, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного, а знаменатель равен сумме произведений знаменателей первого и второго неполных частных, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного. Четвертая подходящая дробь получается аналогично из четвертого неполного частного 3/4 и второй и третьей подходящих дробей: (33 + 411)/(32 + 48) или 53/38. Следуя этому правилу, находим первые семь подходящих дробей: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 и 16687/11986. Запишем их в виде десятичных дробей (с шестью знаками после запятой): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 и 1,392208. Значением нашей непрерывной дроби будет число x, первые цифры которого 1,3922. Подходящие дроби являются лучшим приближением числа x. Причем они поочередно оказываются то меньше, то больше числа x (нечетные – больше x, а четные – меньше).

Чтобы представить отношение двух положительных целых чисел в виде конечной непрерывной дроби, нужно воспользоваться методом нахождения наибольшего общего делителя. Например, возьмем отношение 50/11. Так как 50 = 411 + 6 или 11/50 = 1/(4 + 6/11), и, аналогично, 6/11 = 1/(1 + 5/6) или 5/6 = 1/(1 + 1/5), получаем:

Непрерывные дроби используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Предположим, что x – иррациональное число (т.е. непредставимо в виде отношения двух целых чисел). Тогда, если n₀ – наибольшее целое число, которое меньше x, то x = n₀ + (x – n₀), где x – n₀ – положительное число меньше 1, поэтому обратное ему число x₁ больше 1 и x = n₀ + 1/x₁. Если n₁ – наибольшее целое число, которое меньше x₁, то x₁ = n₁ + (x₁ – n₁), где x₁ – n₁ – положительное число, которое меньше 1, поэтому обратное ему число x₂ больше 1, и x₁ = n₁ + 1/x₂. Если n₂ – наибольшее целое число, которое меньше x₂, то x₂ = n₂ + 1/x₃, где x₃ больше 1, и т.д. В результате мы шаг за шагом находим последовательность неполных частных n₀, 1/n₁, 1/n₂,... непрерывной дроби, являющихся приближениями x.

Поясним сказанное на примере. Предположим, что , тогда

Первые 6 подходящих дробей равны 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Записанные в виде десятичных дробей они дают следующие приближенные значения : 1,000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Непрерывная дробь для имеет неполные частные 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1,.... Иррациональное число является корнем квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами в том и только в том случае, если неполные частные его разложения в непрерывную дробь периодичны.

Непрерывные дроби тесно связны со многими разделами математики, например с теорией функций, расходящимися рядами, проблемой моментов, дифференциальными уравнениями и бесконечными матрицами. Если x – радианная мера острого угла, то тангенс угла x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, x²/3, x²/7, x²/9,..., а если x – положительное число, то натуральный логарифм от 1 + x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, 1²x/2, 1²x/3, 2²x/4, 2²x/5, 3²x/6,.... Формальным решением дифференциального уравнения x²dy/dx + y = 1 + x в виде степенного ряда является расходящийся степенной ряд 1 + x – 1!x² + 2!x³ – 3!x⁴ +.... Этот степенной ряд можно преобразовать в непрерывную дробь с неполными частными 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1,..., а ее в свою очередь использовать для получения решения дифференциального уравнения x²dy/dx + y = 1 + x.

Дата добавления: 2015-07-18